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《向量应用》教学设计

教学设计

教学环节

教学内容

师生互动

设计意图

复习引入

如图所示，看图回答问题.

问题：两个人提一重物，怎样提最省力？

教师出示图片，提出问题.也可以让学生自己动手体验学生交流，回答

用生活中的具体实例启发学生思考，激发学生的学习兴趣.

概念形成

一、向量在几何中的应用

1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.

2.平面几何问题与平面向量之间的对应关系

3.用向量方法解决平面几何问题的一般步骤：

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系.

4.用向量方法解决平面几何问题的两个基本方法.

（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算.

（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行、夹角等问题转化为代数运算.

二、向量在物理中的应用

1.物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移等在数学中都是向量.

2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法.

3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤：

（1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题.

（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；

（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；

（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.

学生回顾向量的相关知识，并将向量联系到几何中的点和直线上去.

教师出示表格的左侧，让学生研究后填写右侧，全班订正.

教师给出利用向量方法解决几何问题的几点重要提示，学生识记.

教师将物理中的矢量迁移到数学中的向量上来，总结用向量方法解决物理问题的步骤，学生识记.

培养学生的归纳能力和数学抽象核心素养.

通过列表的方式再一次回顾总结几何中各个元素和结论的向量表示方法，提高学生的归纳总结能力.

使学生理解用向量方法解决几何问题的几个要点，提高其归纳总结能力.

培养学生的类

比、观察能力.

培养学生的归纳

总结能力.

概念深化

一、向量在几何中的应用

1.证明平面几何中的线线平行、三点共线和直线的相互垂直,都可以转化成向量来进行.

(1)证明线线平行、点共线问题,可用向量平行的相关知识:

(其中.

(2)证明垂直问题,可用向量垂直的相关知识：(其中,.

2.平面几何中的两点之间的距离和直线的夹角问题可以转化为向量的模和向量的夹角问题.但是需要注意的是向量的夹角和直线的夹角是不同的,向量有方向,夹角的范围是,而直线和直线夹角的范围是.

二、向量在物理中的应用

1.向量与力

向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.

2.向量与速度、加速度、位移.

速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，所用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.

3.向量与功.

力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积,它的实质是力和位移两个向量的数量积,即?为和的夹角).

教师给出需要注意的知识点，逐条分析说明.

学生结合教师的点拨，展开讨论、交流.

教师总结向量在物理中的应用，指出需要注意的内容.学生识记，完善知识体系.

加深学生对向量在几何中的应用的理解，明确向量的坐标运算，达到培养数学抽象、逻辑推理核心素养的目的.

培养学生的观察归纳能力，达到培养逻辑推理核心素养的目的.

应用举例

例1已知.

求证:.

证明因为,

所以

即

,得,

即,

所以.

课堂练习:教材第39页练习第2,3题.

例2已知直线经过点和,),用向量的方法求直线上任意一点的坐标满足的条件.

解依题意,得,

.

因为三点都在直线上,所以与是共线向量,从而

这就是点的坐标满足的条件.课堂练习:教材第39页练习第4题.

例3如图,无弹性的细绳的一端分别固定在处,同样的细绳下端系着一个称盘,且使得,试分析三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大.

解设三根绳子所受的力分别为,,则.

因为的合力为,所以.

如图(2),在中,

因为,

所以,

即.

故细绳受力最大.

课