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《两角和与差的余弦》教学设计二

教学设计

一、创设情境,引入新课

让学生通过具体实例消除对“”的误解,说明两角和(差)的三角函数不能按分配律展开，并鼓励同学对公式结构的可能情况进行大胆猜想和尝试性探索.

二、自主探究，得出结论

独立思考以下问题：

（1）向量的数量积.

______；

,则_____.

（2）单位圆上的点的坐标表示.

由图可知:（）,（_____）,则__________,

_____,__________.

设计意图:让学生自主填写,目的是为下面推导两角差的余弦公式做准备,让学生体会知识间的必然联系和公式的推导过程,培养学生的逻辑推理和论证能力.

问题_____.

问题2:由.出发,你能推广到对任意的两个角都成立吗?

设计意图:通过具体的角,由向量数量积感受公式的推导过程,从特殊到一般,学会两角差的余弦公式的推导.问题3:两角和与差的余弦公式推导.

（一）两角差的余弦公式

如图,在单位圆中,设,

,

.

如果,那么,

故.

实际上,当为任意角时,由诱导公式总可以找到一个可以转化到的角,使.

综上所述,,对于任意的角都成立.

设计意图:让学生掌握两角差的余弦公式的推导过程,感受公式的一般推导过程,培养学生的逻辑推理能力.根据两角差的余弦公式,猜猜?

设计意图:培养学生的联想和类比能力,以及发散思维.

（二）两角和的余弦公式（学生回答）

.

结论:两角和与差的余弦公式：

.

说明:.公式中两边的符号正好相反(一正一负)；

2.式子右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在前正弦在后;

3.式子中角是任意的;

4.式子的逆用,变形用.

正因为的任意性,所以赋予了公式强大的生命力.

设计意图:通过分析公式的特点,让学生熟练识记公式,通过对公式的变形分析,教会学生学习公式的一般方法,通过对公式的形式分析,让学生感受公式的形式美和数学应用价值.

三、互相交流,小组活动

第一关:小试身手

请用特殊角分别代替公式中的,你能求哪些非特殊角的余弦值呢?（选择的特殊角可以是等)

(1)_____；

(2)_____；

(3)_____；

问题预测:学生动笔自由尝试,主动探索.学生可能会说能求的值;还可能有学生会说他验证了（让同学感受获得公式后的第一份喜悦）

设计意图：通过具体角的余弦值的计算，让学生学会应用公式，在应用中熟练掌握公式.

第二关：再接再厉

若固定,分别用代替,你将会发现什么结论呢?

(1)_____；

(2)_____；

(3)_____；

(4)_____.

更进一步,你能由上面(4)求吗?

设计意图:引导同学发现余弦的诱导公式可用公式得到证明:，.初步让学生发现公式是诱导公式的推广.(从而让同学感受获得公式后的第二份喜悦)

第三关:各显神通

倘若让你对公式中的自由赋值,你又将发现什么结论呢?

（1）_____；

（2）_____；

（3）（_____）（_____）_____（_____）（_____）;

（4）（_____）_____（_____）（_____）；

……

问题预测:可能有的同学发现,这是以后要学的二倍角公式,还有的同学发现:,甚至有的同学发现,这就无意中证明了平方关系,,(据此,让同学感受到公式的强大功能).(必要时,教师可适当提示）

设计意图:按教材编排未必能让学生注意公式中的任意性(而正是因的任意性,才赋予了公式强大的生命力),于是设计了上述三个有层次的问题,留时间先让学生用特殊角自由赋值,逐渐摸索、尝试,不断总结、归纳.这样更能使学生亲自感受公式的强大功能,并掌握赋值法.

四、师生协作，数学运用

例已知,求的值.

分析根据两角和的余弦公式,需要先求出两个角的正、余弦值,所以先由求出.

解由,得.

又由,得

由两角和的余弦公式得

.

注意角所在的象限,也就是符号问题.

设计意图:通过实例,强化对两角和的余弦公式的理解和应用.掌握利用两角和(差)公式求值的基本步骤和规范解题.

变式训练已知都是锐角,,求的值.

分析此题注意不要拆角,将看作一个整体角,利用求的值.

解由,得.

又由,则,得

由两角差的余弦公式,得

.

设计意图:教会学生整体角和变换角的思想,让学生学会辩证地看问题,学会利用整体思想解决问题,培养学生的抽象思维,学会灵活应用公式.

五、达标检测,及时反馈

,初步学会逆用公式.

.

为二倍角公式埋下伏笔.

,逐步学会把不符合公式的结构变形使之符合.

5.设,若,则_____.

答案:

1.

答案：

解析:.

2.

答案：

解析:.

3.

答案：

解析:.

4.