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《两角和与差的正切》教学设计

教学设计

一、复习导入

问题1:请同学们回顾我们前面学习的两角和与差的正弦公式和余弦公式.

（1）两角和与差的余弦公式:

_____，简记为,

_____，简记为.

（2）两角和与差的正弦公式:

_____，简记为,

_____，简记为.

学生填写答案,集体点评正误.

设计意图:回的两角和与差的正、余弦公式,为两角和与差的正切公式的推导作铺垫.

二、合作探究

问题2:你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系,从出发,推导出用任意角的正切表示的公式吗?

让学生以小组为单位,合作探究两角和与差的正切公式.通过推导,可以得到：

当时,将公式的两边分别相除,有.若,将上式的分子、分母分别除以,得.

在上式中,将用来替换,可得.

从而得到公式内容:对使等式两边都有意义的和,者有

.

.

这就是两角和(差)的正切公式.

公式给出了任意角的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系.为方便起见,我们把这三个公式都称为和角公式.类似地,,都称为差角公式.

教师提问：至此，我们已经学完了两角和与差的6个公式，你能说说这6个公式在结构上有什么特点吗？怎样才能更快地记住这些公式？

设计意图：通过探究推导两角和与差的正切公式的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力，加强计算能力的训练，从而体会数学的严谨性.

三、公式应用

例1已知是方程的两根,求的值.

分析本题既可以根据方程解出的值,再代入公式计算,也可以不解方程,通过计算,的值来求的值.

解法1解方程得

或.

代入两角和的正切公式,得.

解法2因为是方程的两根,所以

因此,.

设计意图:通过例一是巩固两角和的正切公式,二是回顾初中学的重要知识:韦达定理.

变式训练已知,求

分析根据两角和与差的正切公式求值.

解（1）.

（2）.

设计意图:学会应用公式求值,?住公式中的两个基本量:两角的正切,及整体思想的应用.培养学生的公式应用能力和数学运算核心素养.

例2证明:.

分析由(也可写成),利用两角差的正切公式,可以求出的值.或者由,等式左边的结构与相似,考虑运用两角和的正切公式.

或者由,考虑运用两角和的正切公式.

证法1因为

，

所以.

证法2.

证法3因为

所以.

设计意图:本题解法多样,思考角度不同,适合发散学生的思维,?练一题多解能力.

变式训练2化简:（1）；（2）.

分析（1）根据,逆用两角差的正切公式;

（2）根据两角和的正切公式可以变形得到,利用公式的变形式化简.

解（1）原式.

（2）

.

设计意图:公式的应用除了正用以外,常考查公式的逆用和变形用.通过此题,让学生感受和学会公式的应用方式,学会灵活变形应用公式解题,培养学生的逻辑推理和数学运算核心素养.

例3如图,有三个相同的正方形相接,求证:.

证明由上图可知

从而得

因为,所以.

在区间内,正切值为1的角只有1个,即.

故.

完成例3后教师提问:由能直接得到吗?为什么?

学生小组讨论,派代表回答.

变式训练3如图,三个相同的正方形相接,记,求,的值.

分析由图可知,由直角三角形,可以求出,和,然后利用两角差的正切公式求出的值.

解由图,设正方形的边长为,则,tan.

所以

.

设计意图：两角和与差的正切公式在生活中经常使用，例如测量山体的高度、视角的大小等在此例题和变式训练中，让学生感受两角和与差的正切公式在几何图形中的应用，培养学生的数学应用意识和数形结合解题能力.

证明在斜三角形中,有,即,且都不等于,所以

,

即

即,

从而.

完成例4后教师适时提问:一般地,当角满足什么条件时,等式成立?

学生小组讨论,完成解答.

例5如图,两座建筑物的高度分别是和,从建筑物的顶部处看建筑物的张角,求建筑物和的底部之间的距离.

分析作于点,有.设为,只需建立关于的方程即可.

解如上图,作于点.因为,所以

设.

因为,所以.

在和中,有

因为,

所以.

化简,得,

解得(舍去).

答两座建筑物底部之间的距离等于.

变式训练4如图,在某开发区内新建两栋高楼,为水平地面),是的中点,在点处测得两楼顶的张角.试求楼的高度(测量仪器的高度不计).

解由题意有,

且

解得.

楼的高度为.

设计意图:通过此组题目,让学生体会两角和与差的正切公式在实际中的应用,提高学习数学的兴趣.

四、课堂小结

1.两角和与差的正切公式是怎么推导出来的?

2.利用两角和与差的正切公式,我们解决了什么问题?

学生思