《5.3.4导数在研究函数中的应用—生活中的优化问题》学案 (2).docVIP

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§5.3.4导数在研究函数中的应用—生活中的优化问题举例

目标要求

1、理解生活中的优化问题．

2、掌握用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤.

3、能利用导数解决与函数有关的综合问题．

学科素养目标

通过具体背景与实例的抽象，经历导数模型的建构和利用导数解决实际问题的过程，使学生对变量数学的思想方法（无穷小算法数学）有新的感悟．进一步发展学生的数学思维能力，感受和体会数学产生和发展的规律以及人类智慧和文明的传承，促进学生全面认识数学的价值．也为后继进一步学习微积分等课程打好基础．

导数与函数、方程、不等式及解析几何等相关内容密切相联．具有“集成”的特点，进而，学习本章节有助于学生从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

重点：用导数解决生活中的优化问题的方法和步骤；

难点：利用导数解决与函数有关的综合问题．

教学过程

基础知识积累

1.函数的最大值与最小值

前提

在函数定义域I内存在x0

条件

对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)

对任意的x∈I，总有f(x)_______f(x0)

结论

f(x0)为最大值

f(x0)为最小值

【友情提醒注意】函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是定义域内所有函数值中的最大者，最小值必须是定义域内所有函数值中的最小者．

2.求f(x)在[a，b]上的最值的两个步骤

第一步：求f(x)在(a，b)上的________；

第二步：将第一步中求得的极值与______________比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．

【友情提醒注意】最值不一定是极值，极值也不一定是最值．

【课前预习思考】

结合图形观察y＝f(x)在[a，b]上的最值可能出现在哪里．

【课堂题组训练】

类型一平面几何中的最值问题(数学建模、数学运算)

【典例】题1.如图所示，半径为2的⊙M切直线AB于点O，射线OC从OA出发绕着O点顺时针旋转到OB，旋转过程中，OC交⊙M于P，记∠PMO为x，弓形PnO的面积为S＝f(x)，那么f(x)的图象是如图中的()

题2．将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，

记S＝eq\f(（梯形的周长）2,梯形的面积)，则S的最小值是()

A．eq\f(32\r(3),3)B．eq\f(16\r(3),3)C．eq\f(8\r(3),3)D．eq\f(4\r(3),3)

题3．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________.

题4.如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量，OA＝2km，AB＝eq\r(2)km，∠OAB＝eq\f(π,4).现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CD＝akm，矩形草坪CDEF的面积为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))km2.

(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))，并写出定义域．

(2)当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？

类型二立体几何中的最值问题(数学运算、直观想象)

【典例】题5.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝xcm.

(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？

(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

题6.如图所示的某种容器的体积为90πcm3，它是由圆锥和圆柱两部分组合而