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§5.3留数在定积分
计算中的应用一、形如的积分二、形如的积分三、形如的积分
一、形如的积分思想方法:封闭路线的积分（围道积分法）.把定积分化为一个复变函数沿某条两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化
当历经时,绕行一周.z沿正向单位圆周从而积分化为沿正向单位圆周的积分：
z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.
例1解故积分有意义.
因此
例2计算解令
极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)
二、形如的积分若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且分母在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.
2.积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取f(z)=R(z).
O这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得:z1z2z3?RRxznyCR
即从而
例3计算积分解在上半平面有二级极点一级极点
例4计算积分解在上半平面有两个单极点：
三、形如的积分积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(x)在实轴上无孤立奇点.z1z2z3zn?RROxyCR同前一类型:补线与曲线C,使R(z)所有的在上半都包在这积分路线内.一起构成封闭平面内的极点
由留数定理:就可以求出积分
则约当引理：证
得由约当不等式（如右图）
从而根据约当引理及以上的讨论得：
将实虚部分开，可得积分
例5计算积分解在上半平面只有二级极点又
注意以上两型积分中被积函数中的R(z)在实轴上无孤立奇点.
例6计算积分解因函数在实轴上有一级极点若被积函数中的R(z)在实轴上有孤立奇点，则
小结与思考本课应用“围道积分法”计算了三类实积分,熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点.思考题
思考题答案
作业：P935.9（1）、（4）、（6）
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