《曲边梯形的面积》导学案 (1).docVIP

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1.5.1曲边梯形的面积

学习目标：通过探求曲边梯形的面积，了解定积分的实际背景，了解“以直代曲”“逼近”的思想方法，建立定积分概念的认知基础，为理解定积分概念和几何意义奠定基础.

新课探究

微积分在几何上有两个基本问题

1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；

2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积.

xyo

x

y

o

x

y

0

x

y

0

直线几条线段连成的折线曲线

直线x=0、x=1、y=0及曲线y=x2所围成的图形（曲边三角形）面积S是多少？

为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形

对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”.

xy

x

y

O

1

分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积A?A1+A2+×××+An

下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程

（1）分割

把区间[0，1]等分成n个小区间：

过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作

（2）以直代曲

（3）作和

（4）逼近

分割以曲代直作和逼近

当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi)△x来近似表示小曲边梯形的面积

表示了曲边梯形面积的近似值.

数学运用

例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实际意义？

例2：如图，有两个点电荷A、B，电量分别为qA,qB,,固定电荷A，将电荷B从距A为a处移到距A为b处，求库仑力对电荷B所做的功.

课堂练习

1、函数在区间[，]上（）

A.的值变化很小B.的值变化很大

C.的值不变化D.当很大时，的值变化很小

2、在求抛物线与直线=1，=2，=0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]分成个小区间，则第个区间是（）

A.[，]B.[1+，1+]C.[-1，]D.[，]

3、在求由,(),,(≥0)及围成的曲边梯形的面积S时，在区间[,]上等间隔地插入-1个分点，分别过这些分点作轴的垂线，把曲边梯形分成个小曲边梯形，∞时，下列说法正确的是（）

A.个小曲边梯形的面积和等于S

B.个小曲边梯形的面积和小于S

C.个小曲边梯形的面积和大于S

D.个小曲边梯形的面积与S之间的大小关系无法确定

4、对于由直线=1，=0和曲线所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值（取每个区间的左端点）是（）

A.B.C.D.

5、等于（）

A.B.C.D.

6、在“近似代替”中，函数在区间[,]上近似值等于（）

A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均正确

7、把区间[1,3]等分，所得个小区间的长度=.

8、求由抛物线，直线=1以及轴围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积和为.

9、利用“分割，近似代替，求和，取极限”的方法求得曲边梯形的面积是值（填“近似”或“精确”）.

10、由,=0，=1，=0围成的平面图形的面积是.