线性方程组解题归纳.ppt

题型5与AB=0有关的问题已知矩阵A，求矩阵B使AB=0，此类问题常将B按列分块，B=(b1,b2,….bn)，将列向量bi视为Ax=o的解向量，因而可以利用Ax=o的一些解或一个基础解系充当所求矩阵B的部分列向量，B的其余列向量可取为零向量。第31页,共45页，星期六，2024年，5月题型5与AB=0有关的问题例9设求一个4×2矩阵B使AB=0，且r(B)=2.第32页,共45页，星期六，2024年，5月解：由AB=0知，B的列向量均为Ax=o的解向量。显然r(A)=2，未知量的个数是4，因而Ax=o的基础解系含有2个解向量，于是如果求出Ax=o的基础解系，以其为列向量作矩阵即得所求的矩阵B。为此对A进行初等行变换得基础解系α1=（1，5，8，0）T,α2=(0,2,1,1)T令B=(α1,α2),则B即为所求。第33页,共45页，星期六，2024年，5月题型6已知基础解系反求其齐次线性方程组法1：解方程组法（1）以所给的基础解系为行向量做矩阵B，（2）解Bx=0，求出其基础解系；（3）以（2）中所得基础解系中的向量为行向量作矩阵，该矩阵即为所求的一个矩阵A.第34页,共45页，星期六，2024年，5月法2初等行变换法以所给的线性无关的向量作为行向量组成一矩阵B,用初等行变换将此矩阵化为行最简形矩阵，再写出Bx=0的一个基础解系，以这些基础解系为行向量组成的矩阵，就是所求的齐次线性方程组的一个系数矩阵A，从而求出了所求的一个齐次线性方程组Ax=0.第35页,共45页，星期六，2024年，5月例10写出一个以X为通解的齐次线性方程组。第36页,共45页，星期六，2024年，5月解：法1.令α1=（2，-3，1，0）T，α2=（-2，4，0，1）T，以α1Tα2T为行向量作矩阵B，只需写出Bx=0的一个基础解系β1=（1,0,-2,2）T,β2=(0,1,3,-4)T,则所求齐次线性方程组的系数矩阵为A，第37页,共45页，星期六，2024年，5月所求的一个齐次线性方程组为Ax=0,即第38页,共45页，星期六，2024年，5月法2把所给通解改写为由上式易知所求方程组有两个自由未知数X3和x4和两个独立变量x1，x2，且对应的方程组为即第39页,共45页，星期六，2024年，5月题型7抽象线性方程组求解1.已知系数矩阵A的秩，求Ax=0的通解:为求Ax=0的通解，必先由A的秩明确一个基础解系含多少个解向量，然后设法求出这些解向量。第40页,共45页，星期六，2024年，5月11.设n阶矩阵的各行元素之和均为零，且R(A)=n-1，求线性方程组Ax=0的通解。解：X的维数为n，R(A）=n-1，故Ax=0的一个基础解系含1个解向量，又因为A的各元素之和为0，故非零向量α1=（1,1,…,1）T满足方程组Ax=0，因而α1为Ax=0的一个基础解系，于是通解为α=kα1(k为任意常数)第41页,共45页，星期六，2024年，5月2.已知AX=b的特解求其通解第42页,共45页，星期六，2024年，5月12.设三元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量β1，β2，β3满足β1+β2=（3，1，-1）T，β1+β3=（2，0，-2）T，求Ax=b的通解。第43页,共45页，星期六，2024年，5月解：因α=（β1+β2）-（β1+β3）=β2-β3为Ax=0的一个解向量。而η1=（β1+β2）/2是Ax=b的特解，因Ax=0的基础解系含有1个解向量，故Ax=b的通解为X=kα+η1(k为任意常数)第44页,共45页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第45页,共45页，星期六，2024年，5月关于线性方程组解题归纳题型一线性方程组解的基本概念1.如果α1、α2是下面方程组的两个不同的解向量，则a的取值如何？第2页,共45页，星期六，2024年，5月解：因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)=r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换易见仅当a=-2时，r(A)=r(Ab)=2＜3，故知a=-2。第3页,共45页，星期六，2024年，5月2.设A是秩为3的5×4矩阵，α1、α2、α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T,3α1+α2=（2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解