2023中考数学常见几何模型《最值模型-费马点问题》含答案解析.pdfVIP

试题

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专题最值模型费马点问题

最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手

模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考

说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫

业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领

域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大

定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】

结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹

角为120°时，MA+MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120

º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于

120°）

【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到

BN，连接EN．

∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．

试题1

试题

ABBE



在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．

ABMEBN



BMBN



连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角

形．

∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的

值最小．

此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；

∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．

费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，

连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

结论2：点P为锐角△ABC内任意一点，连接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加

权费马点）

【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。

xz

如：保持BP不变，xAP+yBP+zCP=y(APBPCP)，如图，B、P、P、A四点共线时，

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yy

取得最小值。

模型特征：PA+PB+PC（P为动点）

①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最

外的顶点与已知三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③

同时线段前可以有不为1的系数出现，即：加权费马点。

【最值原理】两点之间，线段最短。

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