人教B版高中数学选择性必修第一册课后习题 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角.docVIP

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1.2.3直线与平面的夹角

课后训练巩固提升

1.已知平面α的一个法向量为n=(1,-3,0),则y轴与平面α的夹角为()

A.π6 B.π4 C.π

解析:∵y轴的方向向量可以为a=(0,1,0),

∴sinθ=|cosn,a|=n·

∴θ=π3

答案:C

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1与平面BB1D1D所成的角是()

A.∠C1BB1

B.∠C1BD

C.∠C1BD1

D.∠C1BO

解析:∵OB是BC1在平面BB1D1D上的射影,

∴∠C1BO即为所求.

答案:D

3.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()

A.23 B.33 C.2

解析:以D1为原点,D1

设AB=1,则AA1=2,则D(0,0,2),C1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2),得DB=(1,1,0),DC1=(0,1,-2),DC=(0,1,0).设n=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则n·

设CD与平面BDC1所成的角为θ,

则sinθ=|cosn,DC|=n·

答案:A

4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD为正方形,且PD=AB=1,G为△ABC的重心,则PG与底面ABCD所成的角θ满足 ()

A.θ=π4

B.cosθ=2

C.tanθ=22

D.sinθ=3

解析:以D为坐标原点,DA,DC,DP的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则P(0,0,1),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),G(23,23,0)

因为平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),则sinθ=|cosPG,n|=|PG·n||

答案:B

5.如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是a=(0,2,1),b=(2,5,

答案:30°

6.在△ABC中,M,N分别是AB,AC的中点,PM⊥平面ABC,当BC=6,MP=33时,PN和平面ABC所成的角为.?

解析:由题意知,∠PNM是PN和平面ABC所成的角,tan∠PNM=PMMN=3

答案:60°

7.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱A1B1的中点,则直线AE与平面BDD1B1所成角的正弦值为.?

解析:以A1为坐标原点,A1

设正方体的棱长为2,则A(0,0,2),C(2,2,2),E(1,0,0),∴AC=(2,2,0),AE=(1,0,-2).

∵AC⊥BD,AC⊥BB1,BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC=(2,2,0)是平面BDD1B1的一个法向量.

设直线AE与平面BDD1B1所成的角为θ,则sinθ=|cosAC,AE|=

答案:10

8.从平面α外一点P向平面α引垂线段PO及两条斜线段PA,PB,它们在平面α内的射影长分别为2cm和12cm,且这两条斜线与平面α所成的角相差45°,则垂线段PO的长为.?

解析:设PO=acm,PA,PB与α所成角分别为α1,α2,且α1=α2+45°,

∵tanα1=a2,∴tan(α2+45°)=a2,即tanα2+11-tanα2=a2.∵

答案:4cm或6cm

9.如图,AB为△ABC的外接圆O的直径,CD⊥平面ABC,BE∥CD,AB=25,BC=2,CD=4,BE=1.

(1)求证:平面ADC⊥平面BCDE;

(2)求直线AB与平面ADE所成角的正弦值.

(1)证明:∵AB是圆O的直径,∴AC⊥BC.

∵CD⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴CD⊥BC.

∵AC∩CD=C,∴BC⊥平面ADC.

∵BC?平面BCDE,

∴平面ADC⊥平面BCDE.

(2)解:由(1)知AC⊥BC.∵BC=2,AB=25,

∴AC=AB2-

∴A(4,0,0),B(0,2,0),E(0,2,1),D(0,0,4),AB=(-4,2,0),AD=(-4,0,4),AE=(-4,2,1).

设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),

由n

令z=1,则x=1,y=32,∴n=1

设直线AB与平面ADE所成的角为θ,

则sinθ=|cosAB,n|=AB·

10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的底面相交,交线围成一个正方形.

(1)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由);

(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.

(2)作EM⊥AB,垂足为点M,