《空间向量的加减法与数乘运算》同步学案 (1).docxVIP

高中数学精编资源

PAGE2/NUMPAGES2

《空间向量的加减法与数乘运算》同步学案

问题情境导入

1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海.如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a+b与c有怎样的关系呢？

新课自主学习

自学导引

1.已知空间向量a，b，过空间______一点A，作______，______，再作向量，把向量叫作空间向量a，b的______.求空间向量和的运算叫作空间向量的______即______.上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的______.

平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用，

2.与平面向量的加法满足的运算律类似，空间向量的加法也满足如下运算律：

（1）交换律______；

（2）结合律______；

3.与平面向量类似，空间向量a，b的差也可定义为______，记作a-b，其中-b是b的______.

4.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：

（1）______；

（2）当0时，向量a与向量a方向；当0时，向量a与向量a方向______；当0时，向量a与向量a方向______；当______时，a=0.

5.空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律；

（1）______；

（2）______；

（3）______.

其中.

6.共线向量基本定理（也称“一维向量基本定理”）空间两个向量a，b（b≠0）共线的充要条件是存在的______实数，使得______.

答案

1.任意和加法三角形法则

2.（1）a+b=b+a（2）（a+b）+c=a+（b+c）

3.a+（-b）相反向量

4.（1）（2）相同相反

5.（1）（2）

（3）

6.唯一

预习测评

1.已知空间四边形ABCD，则等于（）

A.

B.

C.

D.

2.已知平行六面体ABCD-ABCD，有下列四个结论：

①；②；③=；④.

其中正确的是______.

3.已知空间向量a，b，c，化简：______.

4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，若，，则______.

答案

1.

答案：A

解析：.

2.答案：①②③

解析：由题意得，①正确.，②正确.③显然正确.因为，所以④不正确.

3.

答案：

解析：根据空间向量的运算法则可知，原式.

4.

答案：

解析：.

新知合作探究

探究点1空间向量的加减法

知识详解

1.空间向量的加减法定义

（1）已知空间向量a，b，过空间任意一点A，作，，再作向量，把向量叫作空间向量a，b的和.求空间向量和的运算叫作空间向量的加法，即.上述求两个空间向量和的法则，叫作向量求和的三角形法则

（2）与平面向量类似，空间向量a，b的差也可定义为，记作a-b，其中-b是b的相反向量.

特别提示

1.平面向量求和的平行四边形法则，对空间向量同样适用.

空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）.

2.运算律

交换律：；

结合律：.

特别提示

1.空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并.

2向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则.

典例探究

例1如图，已知长方体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果所对应的向量.

（1）;

（2）.

解析结合图形，利用向量的加减法运算法则进行运算.

答案（1）.

（2）.

向量，如图所示.

变式训练1利用本例题图，化简.

答案见解析

解析结合加法运算有:

，

故.

归纳总结（1）首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即.

（2）首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，

.

探究点2空间向量的数乘运算

知识详解

1.定义：实数与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作a.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算，向量a的长度和方向满足：

（1）；

（2）当0时，向量a与向量a方向相同；当0时，向量a与向量a方向相反；当=0时，a=0.

2.空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律：

（1）结合律：；

（2）分配律：；

（3）.

其中∈R，∈R.

特别提示

1.实数入与空间向量a的乘积a（∈R）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把空间向量伸长或缩