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高中数学精编习题

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《全概率公式》典型例题剖析

题型1全概率公式的应用

例1设仓库中共有10箱产品,其中甲、乙、丙三厂各有5箱、3箱、2箱,且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%,15%,20%,现从中任取1箱,再从该箱中任取1件产品,求取得次品的概率.

解析所取得的产品可能由甲、乙、丙中任何一个厂生产,但是不同厂家的次品率不同,因此,该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响,每个工厂都有概率“贡献”,因此应考虑运用n=3的全概率公式.

答案设事件A表示“任取一件为次品”,事件B1,B2,B3表示所取得的产品分别由甲、乙、丙三厂生产,由全概率公式可知

=0.135.

故从中任取1箱,再从该箱中任取1件产品,取得次品的概率为0.135.

变式训练1有一批产品是由甲、乙、丙三厂同时生产的,其中甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品的正品率为95%,乙厂产品的正品率为90%,丙厂产品的正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率.

答案设事件A,B,C分别表示抽得的产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的,事件D表示抽得的产品为正品,

则由已知得P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,

P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,

从而任取一件,该产品为正品的概率可由全概率公式得到,即

题型2贝叶斯公式的应用

例2在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0,已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.8和0.2;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.若已知接收的信号为0,求发送的信号是1的概率.

解析利用贝叶斯公式求解.

答案设事件A表示“发送的信号为0”,事件B表示“接收的信号为0”,则事件表示“发送的信号为1”,事件表示“接收的信号为1”.

由题意得

由贝叶斯公式可得

.

规律总结此类问题在实际中更为常见,它所求的是条件概率,是已知某结果发生条件下,求各原因发生的可能性大小.

变式训练2设某时间段内某公路上经过的车辆只有货车和客车,且货车与客车的数量之比为2:1,货车中途停车修理的概率为0.02,客车中途停车修理的概率为0.01.今有一辆汽车中途停车修理,求该汽车是货车的概率.

答案设事件B表示“中途停车修理”,事件A1表示经过的是货车”,事件A2表示“经过的是客车”,则B=,由贝叶斯公式有

题型3概率公式与贝叶斯公式的综合应用

例3同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知,三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80,三家产品数按2:3:5的比例混合在一起.

(1)从中任取一件,求此产品为正品的概率;

(2)现取到一件产品为正品,问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大?

解析(1)符合全概率公式的条件,用全概率公式求解.(2)利用贝叶斯公式求解.

答案设事件A表示“取到的产品为正品”,事件B1,B2,B3分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”,

由已知得,

(1)由全概率公式得

.

(2)由贝叶斯公式得

由以上3个数作比较,可知这件产品由丙厂生产的可能性最大.

变式训练3装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,则丢失的也是一等品的概率为______.

答案

解析设事件A表示“从箱中任取2件都是一等品”,事件B1表示“丢失的是一等品”,事件B2表示“丢失的是二等品”,事件B3表示“丢失的是三等品”,那么P(A)=,从而所求概率为

P(B1|A)=.

规律方法总结

1.全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率,它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率运算,即运用了“化整为零”的思想处理问题.

2.P(Bi)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下,人们对诸事件发生可能性大小的认识,当有了新的信息(知道A发生),人们对诸事件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计,贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化.

核心素养园地

例假定具有症状S={S1,S2,S3,S4}的疾病有d1,d2,d3三种,现从20000份患有疾病d1,d2,d3的病历卡中统计得到下表:

疾病

人数

出现S症状人数

d1

7750

7500

d2

5250

4200

d3

7000

3500

试问当一个具有S