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2024—2025学年上海市同济大学第一附属中学高二上学期10月月考数学试卷
一、填空题
(★)1.不等式的解集为____________.
(★★)2.对于正实数,代数式的最小值为______.
(★★)3.“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件.
(★★)4.若圆柱的高为10,底面积为,则这个圆柱的侧面积为____________.
(★★)5.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线与底面半径的比为_______.
(★)6.若正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,且高为1,则其体积为____________.
(★)7.在中,,则角A=________.
(★)8.若三个向量,,共面,则实数m的值为______.
(★★★)9.已知二面角为,P是半平面内一点,点P到平面的距离是1,则点P在平面内的投影到的距离是_________.
(★★)10.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为6,则球的表面积为________.
(★★★)11.某人去公园郊游,在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形,斜边AB朝南北方向固定在地上,正西方向射出的太阳光线与地面成30°角,则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为______时,所遮阴影面面积达到最大.
(★★★★)12.在四面体中,,,,设四面体与四面体的体积分别为、,则的值为_________.
二、单选题
(★)13.已知m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,则下列条件能使n⊥α成立的是()
A.α⊥β,m?β
B.α∥β,n⊥β
C.α⊥β,n∥β
D.m∥α,n⊥m
(★)14.如图,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,E、F分别为BC、BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是().
A.直线AA1
B.直线A1B1
C.直线A1D1
D.直线B1C1
(★)15.已知一个棱长为的正方体,与该正方体每个面都相切的球半径记为,与该正方体每条棱都相切的球半径为,过该正方体所有顶点的球半径为,则下列关系正确的是()
A.
B.
C.
D.
(★★★)16.正四面体ABCD的体积为1,O为其中心,正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称,则这两个正四面体的公共部分的体积为()
A.
B.
C.
D.
三、解答题
(★★★)17.已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
(★★)18.据《黑鞑事略》记载:“穹庐有二样:燕京之制,用柳木为骨,正如南方罘思,可以卷舒,面前开门,上如伞骨,顶开一窍,谓之天窗,皆以毡为衣,马上可载.草地之制,以柳木组定成硬圈,径用毡挞定,不可卷舒,车上载行.”随着畜牧业经济的发展和牧民生活的改善,穹庐或毡帐逐渐被蒙古包代替.一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合体.如图,已知该圆锥的高为3米,圆柱的高为4米,底面直径为8米.
(1)求该蒙古包的表面积(不含底面);
(2)求该蒙古包的体积.
(★★)19.如图,长方体中,,与底面ABCD所成的角为
.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求异面直线与所成角的大小.
(★★★)20.如图,在三棱柱中,底面是以为斜边的等腰直角三角形,侧面为菱形,点在底面上的投影为的中点,且.
(1)求证:;
(2)求点到侧面的距离;
(3)在线段上是否存在点,使得直线与侧面所成角的余弦值为?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.
(★★★)21.设为给定的实常数,若函数在其定义域内存在实数,使得成立,则称函数为“函数”.
(1)若函数为“函数”,求实数的值;
(2)若函数为“函数”,求实数的取值范围;
(3)已知()为“函数”,设.若对任意的,当时,都有成立,求实数的最大值.
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