3.3勾股定理的简单应用（分层练习）解析版.docxVIP

3.2勾股定理的逆定理

分层练习

考查题型一在几何问题中的应用

(2025·福建省龙岩市·月考试卷)如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(????)

A. B.

C. D.

【答案】C?

【解析】解：如图，过C作CD⊥AB于D，

∵AB=6，AC=8，

∴CD≤8，

∴当CD与AC重合时，CD最长为8，

此时，∠BAC=90°，△ABC的面积最大，

∴BC2=AB2+AC2=62+82=100，

∴BC=10，

(2025·四川省自贡市·期中考试)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C上．若AB=6，BC=9，则BF的长为(????)

A.3 B.4 C.4.5 D.5

【答案】B?

【解析】解：∵点C是AB边的中点，AB=6，

∴BC=3，

由图形折叠特性知，CF=CF=BC?BF=9?BF，

在Rt△CBF中，BF2+BC2=CF2，

∴BF

3.(2025·江苏省·同步练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从点B动身，沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t(s)，当t=??????????时，△ABP为直角三角形．

【答案】2或258

【解析】∵∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，

?①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm，∴t=4÷2=2．

?②当∠BAP为直角时，BP=2tcm，CP=(2t?4)cm，AC=3cm，

在Rt△ACP中，AP2=32

∴52

综上，当t=2或258时，△ABP

4.（2025·江苏省·同步练习）在△ABC中，AB=13cm，AC=20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2.?

【答案】126或66

【解析】若∠B为锐角(如图①),

则在Rt△ABD中,BD2+AD2=AB2,

∴BD2=AB2-AD2=25.

∴BD=5(cm).

在Rt△ADC中,AD2+CD2=AC2,

∴CD2=AC2-AD2=256.

∴CD=16(cm).

∴BC=BD+CD=21cm.

∴S△ABC=12·BC·AD=12×21×12=126(cm

若∠B为钝角(如图②),同理可得BC=CD-BD=11cm.

∴S△ABC=12·BC·AD=12×11×12=66(cm

故答案为126或66.

5.（2025·江苏省·同步练习）如图，AD为△ABC的中线，且AC=13，BC=10，AD=12，求△ABD的周长．

【解析】∵AD为△ABC的中线，BC=10，

∴BD=CD=5．

∵AC=13，AD=12，

∴AD2+C

∴AD

∴∠ADC=90

∵∠ADC+∠ADB=180

∴∠ADB=90°

∴在Rt△ADB中，A

∴AB2=169．∴AB=13(负值舍去)

∴△ABD

6．（2025秋·江苏泰州·八班级统考期中）如图，AD⊥BC，垂足为D，且AD=4，BD=8．点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为BE的中点，连接AE、AF，设点E运动的时间为

(1)当t为何值时，AE=AF；

(2)当t=5时，推断△ABE的外形，并说明理由．

【解析】（1）解：由题意得：BE=2t，

∵F为BE的中点，

∴BF=EF=1

∵AD=4，BD=8，

∴DF=BD?BF=8?t，DE=BE?BD=2t?8，

∵AD⊥BC，AE=AF，

∴DE=DF，

即2t?8=8?t，

解得：t=16

∴当t=163时，

（2）解：△ABE是直角三角形，

理由：当t=5时，BE=2t=10，

∴DE=BE?BD=10?8=2，

在Rt△ADB中，A

在Rt△ADE中，A

∵AB2+A

∴AB

∴△ABE是直角三角形．

考查题型二在实际问题中的应用

1．（2025秋·江苏南通·九班级统考期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，依据题意，可列方程为（）

??

A．x2+6

C．x2+(10?x)

【答案】D

【解析】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺

∴图中直角三角形的斜边长(10?x)尺

依据勾股定理建立方程得：x

故选：D．

2．（2025秋·江苏·八班级专题练习）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，假如用一根细线从点A开头经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）

A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm

【答案】B

【解析】