重难点专题02：圆系方程-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册)（解析版）.docx

重难点专题02：圆系方程

知识梳理

曲线系也叫曲线族或曲线束，是指具有某种性质的曲线的集合；曲线系方程是指含有参数的二元方程，当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有这些曲线；其中最简单的就是具有某种性质的直线系与直线系方程；

(1)过圆与直线交点的圆系方程为为参数).

(2)过圆与圆的圆系方程为(不包括圆为参数．

当时,为一条直线(根轴,即过两圆交点的直线).

若表示圆上任意一点,则曲线系方程:为参数表示与相切于点的所有圆.

考点01：直线与圆有交点的圆系方程

1．求经过直线与圆的交点，且面积最小的圆的一般方程．

【答案】

【分析】由题意设所求圆的方程为，找出此时圆心坐标，当圆在直线上时，圆的半径最小，可得此时圆的面积最小，将圆心坐标代入直线中可求出，从而可求出圆的方程.

【详解】由题意设所求圆的方程为，

即，

此时圆心为，

当圆心在直线上时，圆的半径最小，此时圆的面积最小，

所以，得，

所以所求的圆方程为．

2．分别求过直线和圆的交点且满足下列条件的圆的方程.

（1）过原点；

（2）面积最小．

【答案】（1）；（2）.

【分析】过直线2x+y+4＝0和圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的交点的圆的方程可设为（x2+y2+2x﹣4y+1）+λ（2x+y+4）＝0

（1）将（0，0）代入圆系方程，即可得到所求圆的方程；

（2）化为一般式，求出圆的半径的不等式，求出其最小值，从而可得圆的方程．

【详解】设所求圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，

即x2＋y2＋2(1＋λ)x＋(λ－4)y＋(1＋4λ)＝0.①

(1)因为所求的圆过原点，所以1＋4λ＝0，即λ＝－，故所求圆的方程为.

(2)当半径长最小时，圆面积也最小．

把方程①化为标准形式，得[x＋(1＋λ)]2＋.

所以当λ＝时，r2＝取得最小值，rmin＝，

所以所求圆的方程为.

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆系方程，考查学生的计算能力，属于中档题．解题时注意过直线与圆的交点的圆系方程的设法，求圆面积最值转化为的二次函数求解.

3.已知圆,问:是否存在斜率为1的直线,使直线被圆截得的弦为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由.

解：假设存在直线,其方程为,则以为弦的圆系方程为

,整理得

圆过原点,.

又圆心在直线上,,

解得,代人,得或,

经检验,和都和圆相交,故存在满足条件的直线,其方程为或.

4.求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程;

(1)【解法1】

（常规解法）由已知条件,所求圆一定是以直线被圆截得的弦为直径的圆.

故由方程组解得直径的两端点分别为,

.线段的中点为即所求圆的圆心,,则

半径.

【解法2】(利用圆系方程解)过直线.

的交点的圆系方程可设为,

即

圆的半径为,

故当时对应圆的半径最小,且最小半径为.

所求圆的方程为

5.判断方程为参数,表示何种曲线?找出通过定点的坐标;

【解析】

(1)将原方程整理得,

即,

方程表示圆心在即在直线上,半径为的圆系.

将原方程整理为关于的方程:,可见此圆系也为过圆与直线交点的圆系,其交点即为所求的定点.

由表明圆系过定点.

实际上,是圆的切线,为切点,可

见圆系中的圆的圆心在直线上移动,半径为也在变动,但都过这一点.

考点02：两圆相交的圆系方程

6．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由两圆方程设出所求圆方程，求出圆心，代入直线即可解出参数，即可确定圆的方程.

【详解】设所求圆的方程为，则，

则圆心坐标为，代入直线，可解得.

故所求圆的方程为，即.

故选：A.

7．经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为

【答案】

【分析】利用圆系方程可求圆的方程.

【详解】由题可先设出圆系方程；，则圆心坐标为；，又圆心在直线上，可得；解得.

所以圆的方程为：.

故答案为：.

8．求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.

【答案】

【分析】根据过两圆交点的圆系方程设出所求圆的方程，并求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线的方程，从而求出圆的方程.

【详解】设圆的方程为，

则，

即，所以圆心坐标为，

把圆心坐标代入得，解得，

所以所求圆的方程为．

9．求过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程.

【答案】

【分析】先联立两圆的方程，求出交点坐标和.

解法一：易得所求圆的圆心在x轴上，结合圆心在直线上可得圆心，进而求得半径即可；

解法二：设所求圆的方程为，整理可得圆心为，再代入直线求解即可.

【详解】解法一：联立得解得或，

所以点和都在所求圆上，所以所求圆的圆心在x轴上.

又圆心在直线上，所以所求圆的圆心为（6，0），半径，

所以所求圆的方程为.

解法二：设所