重难点专题02：用空间向量研究直线、平面的位置关系-2023-2024学年高二数学高分必刷常考题型专练（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

重难点专题02：用空间向量研究直线、平面的位置关系

考点01：线线平行

设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.

1.（多选）已知，，若，则与的值可以是（???????）.

A．2， B．， C．， D．，2

【详解】由，可设，即，得，解得，或2，故A，C都符合选项.

故选：AC

2．已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．

【答案】证明见解析.

【分析】利用坐标法，利用向量共线定理即得.

【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．

则、、、、、、、，

由题意知、、、，

∴，．

∴，又，不共线，

∴.

考点02：线面平行

设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.

3．（多选）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AD

【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明，结合各选项中的向量，计算判断即可．

【详解】若，则，

对于A，，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确．

故选：AD．

4．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.

【答案】证明见解析

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可.

【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，

若，则，，

因为平面，平面，所以，

又因为，，平面，

所以平面

平面的其中一个法向量为，

所以，即，

又因为平面，

所以平面.

考点03：面面平行

若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.

5.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则=_________．

【答案】2

【解析】

【分析】

由条件可得两个平面的法向量平行，然后可得答案.

【详解】

，，解得．

故答案为：2

6．在正方体中，分别是的中点，试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面平面.

【答案】证明见解析

【分析】根据正方体的结构特征，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明线线平行，由面面平行的判定定理证明平面平面.

【详解】证明:如图，以为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，

则有，，，，，，

于是，，，，

显然有，，所以，，

由，平面，平面，平面，

同理平面，平面，，

所以平面平面

考点04：线线垂直

7.设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.

设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（???????）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】因为，所以，

则，解得.

故选：B.

8．如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：.

【答案】证明见解析

【分析】由题意，利用向量法，根据空间向量的基本定理，结合数量积证明垂直，可得答案.

【详解】由题意，连接，如下图：

，

同理，

故

由，，，，则，

故.

考点05：线面垂直

①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.

②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若

9．在正方体中，直线与平面交于点.

(1)求证：直线平面；

(2)若，求的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得直线平面.

（2）计算出，由此求得.

【详解】（1）设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，

，

，

所以，

所以，

由于平面，

所以平面.

（2）连接，由于平面，平面，

所以.

根据正方体的性质可知，

在直角三角形中，，

所以，

所以，

所以，所以.

10．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，，点E在CC1上且．

(1)求平面BED的一个法向量；

(2)证明：A1C⊥平面BED．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用法向量的性质即可求解；

（2）只需证明与平面BED的法向量共线即可.

【详解】（1）如图所示：

以为坐标原点，射线分别为轴的

正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系：；

依题知，，，，

，，

则有，，，

设平面BED的一个法向量为：，

则有，即，

令，解得：，，

故平面BED的一个法向量为：；

（2）由（1）知，

平面BED的一个法向量为：，

又，

所以与平面BED的一个法向量共线，

即可证明：A1C⊥平面BED.

考点06：面面垂直

若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.

11.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是以为直角的等腰直角三角形，平面平面.证明：平面平面.

【答案】证明见解析.

【