8.2.1_两角和与差的余弦_导学案 (1).docxVIP

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8.2.1两角和与差的余弦

考点

学习目标

两角和与差的余弦公式的推导和简单应用

掌握两角和与差的余弦公式的推导，并进行简单的化简求值

两角和与差的余弦公式的逆用、变形及其应用

掌握两角和与差的余弦公式的变形推导，及相关的应用

【学习重点】

两角和与差的公式及其变形的推导，应用公式进行求值、化简、变形

【学习难点】

两角和与差的公式及其变形的应用

引入

解答：

可以证明，对于任意与，都有

这就是两角差的余弦公式，通常记为。

证明：方法一：

设，则有

在直角坐标系内作圆，并做出任意角，它们的终边分别交单位圆于点，单位圆与x轴交于，则.

且

方法二：

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，设的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则

，因此

，，从而有：

另一方面，由图可知，存在，使得

或

因此，又因为，所以

故

利用可知：

当然，的值也可借助与来求，即

例1.利用证明以下诱导公式

（1）(2)

借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式，即

证明：

新知新学：

1．对任意角α与β，都有cos(α－β)＝，这就是两角差的余弦公式，

简记为Cα－β.

2．两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝

【对点快练】

1．cos17°等于()

A．cos20°cos3°－sin20°sin3°

B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°

C．sin20°sin3°－cos20°cos3°

D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°

2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝()

A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)

C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)

例2.求的值。

例3.已知其中，求

例4.求的值。

【变式练习1】

(1)已知cosθ＝eq\f(3,5)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝____________.

(2)化简cos80°·cos35°＋cos10°·cos55°＝____________.

【变式练习2】

已知cosα＝－eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，tanβ＝－eq\f(1,3)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，求cos(α＋β)．

例5.已知α、β均为锐角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．

【变式练习】

已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，求β的值．

例6.已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，求cosα的值．

【变式练习1】

在本例中，若把α的范围改为：“eq\f(5,4)π＜α＜eq\f(7,4)π”，其他条件不变，又如何求cosα的值？

【变式练习2】

已知tanα＝4eq\r(3)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，α、β均为锐角，求cosβ的值．