《数列中的递推》教学设计二 (1).docVIP

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《数列中的递推》教学设计二

教学环节

设计意图

一、课前练习

1.已知,以下四个数中是数列中的一项的是（）

A.380

B.39

C.32

D.18

2.设数列为,则是该数列的（）

A.第9项

B.第10项

C.第11项

D.第12项

3.数列的一个通项公式为_____.

4.下图中的三角形称为谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图4个三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式:_____.

答案

1.A

2.C

3.

二、复习引入,提出课题

上一节课我们学习了数列的概念,我们把按照一定次序排列的一列数称为数列,记为.把表示的第项与序号之间的关系式称为数列的通项公式.

现在我们再来看一下课前练习的第4题,在写数列的通项公式时,你最先发现这个数列的规律是什么?

提示:后一项是前一项的3倍,即.

三、探究新知

1.观察以下数列,并写出其通项公式.

（1）;

（2）;

（3）.

答案（1）.（2）.（3）.

思考:除了用通项公式外,还有什么办法可以确定这些数列的每一项?

（1）.

（2）.

（3）.

教师让学生思考这两种表示数列通项公式的不同之处,给出递推公式的概念.

2.递推关系

如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式).

练习运用递推公式确定下面数列的通项.

（1）;

（2）.

答案（1）.

（2）.

例1已知数列的第1项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前5项.

解由题意可知，

.

例2已知,求.

解方法一:可以写出,观察可得

方法二:由题设可得,

所以

，

，

，

.

相加得,所以(累加法).

例3已知,求.

解方法一:,观察可得.

方法二:因为,所以,即,所以(累乘法),所以.

3.数列的前项和

前面我们研究的都是数列中的某个项或者相邻几项之间的关系,那么你考虑过所有项的和是怎么求的吗?又有哪些性质呢?

以这个数列为例,你能求出这个数列的前1项和、前2项和、前3项和吗?前项和与前项和呢?你能发现什么规律?

学生独立完成,说出答案,全班核对.

教师给出数列的前项和的概念:一般地,给定数列,称为数列的前项和.

教师给出求通项公式的又一方法:

一般地,如果数列的前项和为,那么当,有,所以,因此

教师提问:为什么要把单独列出来?能合在一起表示吗?什么情况下可以合在一起表示?

教师举出几个不同的例子来帮助学生回答问题.

发现当的时候,可以合并在一起表示通项公式.

例4已知数列的前项和为,求数列的通项公式.

解由题意可知.当时,有.又因为,所以时也成立,因此.

四、联系自然,课外拓展

意大利数学家斐波那契在13世纪初提出了一个关于兔子繁殖的问题:假设每对新生的小兔子2个月后就长成大兔子,且从第3个月起每个月都生1对小兔子,兔子均不死亡.由1对新生的小兔子开始,记每个月的兔子对数构成的数列为,,

提问:你能发现这个数列的规律吗?

如果用表示第个月的兔子的总对数,可以看出,.

这是一个由递推关系给出的数列,我们把这个数列称为斐波那契数列.

拓展1:带小花的大向日葵的管状小花排列成两组交错的螺旋,通常顺时针的螺旋有34条,逆时针的螺旋有55条,恰为裴波那契数列的相邻两项,这样的螺旋被称为“斐波那契螺旋”,蒲公英和松塔就是以“斐波那契螺旋”的形式排列种子或鳞片的.

拓展把相邻两项的比值看成一个新的数列,即

当趋向于无穷大时,其比值趋向于,即黄金比值.故斐波那契螺旋列称为黄金螺旋.

拓展神奇的是,飓风的卫星云图和银河的形状都与黄金螺旋有着惊人的相似之处,包括在建筑上,美术上甚至在音乐上都体现了它的美妙之处.

五、课堂小结

1.递推公式的概念.

2.递推公式与通项公式的区别.

（1）通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或项)之间的关系.

（2）对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4,…即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n项），才可依次求出其他项

3.用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、累乘法

4.数列的前n项和的概念；用数列的前n项和求数列的通项公式.

六、布置作业

教材第13页练习A第1~5题.

通过具体练习回顾上一节的知识，为学习本节内容做好准备.

通过提出问题让学生提炼出某一项与它前一项之间的关系，为推导递推公式做好准备.

借助写通项公式的知识复习，让学生思考其他表示通项公式的方