2024版.新高考版 数学　导数的应用(23).pdf

高考

数学

专题四导数及其应用

4.2导数的应用

基础篇

考点一导数与函数的单调性

设函数f(x)在区间(a,b)内可导,

f

(x)f(x)的导数,则

f

(x)0f(x)在(a,b)上单调递增

f

(x)0f(x)在(a,b)上单调递减

f

(x)=0f(x)在(a,b)上为常数函数

注意:1.f

(x)0(0)f(x)在区间(a,b)上单调递增(减)的充分不必要条件.

2.f

(x)≥0(≤0)f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.

3.若f

(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f

(x)≥0(≤0)f(x)

在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.

考点二导数与函数的极(最)值

1.函数的极值

极值满足条件

极小值点与极小值函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a

附近其他点处的函数值都小,

f

(a)=0;在点x=a附

近的左侧f

(x)0,右侧f

(x)0,就把a叫做函数y=

f(x)的极小值点,

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值

极大值点与极大值函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b

附近其他点处的函数值都大,

f

(b)=0;在点x=b附

近的左侧f

(x)0,右侧f

(x)0,就把b叫做函数y=

f(x)的极大值点,

f(b)叫做函数y=f(x)的极大值

极值与极值点极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值

点统称为极值点

注意:1.在函数的整个定义域内,函数的极值不一定唯一,在整个定义域内

可能有多个极大值和极小值;2.极大值与极小值没有必然关系,极大值可

3

能比极小值还小;3.导数等于零的点不一定是极值点(例如:

f(x)=x,

f

(x)=

2

3x,当x=0时,

f

(0)=0,但x=0不是函数的极值点);4.对于处处可导的函数,极

值点处的导数必为零.

2.函数的最值

1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那

么它必有最大值和最小值,函数的最值必在极值点或区间端点处取得.

2)一般地,求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

①求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;

②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),

f(b)比较,其中最大的一个

是最大值,最小的一个是最小值.

常用结论:若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定

是函数的最值.