线性代数 第10章 旋转变换、对称变换和反射变换.ppt

在本章结尾，最后简单介绍一类特殊的对称变换：反射变换.当涉及到物体围绕一个中心进行镜像翻转时，常常用反射变换对这个过程进行描述：想象一面镜子，当把一个物体放在镜子前时，镜子会将物体沿着镜面进行镜像翻转，即得到物体的镜像.这种镜像翻转的操作就是反射变换.第二节对称变换及其矩阵表示反射变换是指将图形相对于某个轴或点进行变换，使其与原图形具有镜像关系的一种变换.自然界中的反射水中的倒影：水中的倒影是物体相对于水面进行反射的结果.许多光学仪器利用反射原理工作，例如望远镜、显微镜、雷达等.因此，可以说反射变换是对称变换的一种特殊情况，即当对称变换围绕一个平面进行时，就变成了反射变换.在数学和几何学中，常常用对称变换来描述物体的对称性和形状的变化，而反射变换则是对称变换的一种重要形式，用于描述物体在平面镜中的镜像翻转第二节对称变换及其矩阵表示1.旋转变换及其矩阵表示2.对称变换及其矩阵表示回顾与小结思考题：课后习题A第16题。作业题：课后习题A第5、7、10、15题。思考题或作业题旋转变换通常通过指定旋转中心、旋转轴和旋转角度来进行描述，其中旋转中心可以是任意点，旋转轴可以是任意直线或向量，旋转角度可以是任意实数.自然界中有许多与旋转变换相关的现象，在数学、物理、工程和计算机图形学等领域也都有着广泛的应用。第一节旋转变换及其矩阵表示旋转变换被广泛应用于图形处理、动画制作和虚拟现实等方面.通过旋转变换，可以实现对图像和物体的旋转效果，从而产生生动和逼真的视觉效果.旋转变换还被用于飞行器的姿态控制和导航系统设计。通过旋转变换，可以调整飞行器的姿态和方向，实现精确的航向控制和航行路径规划.行星围绕自身的轴线进行自转运动，产生了昼夜交替和地球自转的现象。行星和星系围绕中心点进行旋转运动，产生了星空的变化和行星的季节变化。这种旋转运动影响了天体的运行轨迹和星系的结构，对宇宙中的各种现象产生了重要影响.第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示图10-1反比例函数的图像可经旋转得到标准的双曲线第一节旋转变换及其矩阵表示图10-2旋转变换作用在单位正方形例10.1.1在现实世界中普遍存在的刚体运动，比如行驶中的车轮，自转中的地球。在刚体运动中，物体刚体的每一点都按照相同的方式运动，因此其物体形状和大小在运动过程中不发生改变。因此车轮上的点可以看作以轴所在直线为圆心的圆周，研究这样的圆周运动就可以看成一点绕圆心旋转的运动。因为圆周上的点到圆心的距离相同，一旦确定某一点后圆周上的任意一点都可由这一点旋转得到，见图10-3第一节旋转变换及其矩阵表示图10-3圆周可以看成由一点旋转而得通过圆的定义可以知道，通过旋转之后像和原像均落在同一圆周上，因此它们到圆心的距离均为半径.事实上如果一开始确定圆周上的两点（两个原像），在经过同一个旋转变换（Rotation）（比如都沿逆时针旋转60°）后得到圆周上的另外两个点（两个像）。通过简单的计算可以得到两个原像之间的距离和两个像之间的距离是一样，也就是说旋转变换不会改变两点之间的距离，因此称旋转变换是保长的.第一节旋转变换及其矩阵表示需要注意的是并不是所有的变换都是保长的，像上面图像伸缩的例子中原点到各顶点之间的距离均发生改变，因此伸缩变换不是保长的.但是可以发现定义域中在同一条直线上的原像经变换的像仍旧可以连成一条直线，称这样的性质是线性性（Linearity），满足线性性的变换称为线性变换（LinearTransformation）.第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示例10.1.2 试确定变换使得图10-4中的图形做从左到右的变化，并求出其标准矩阵.第一节旋转变换及其矩阵表示图10-4字符“L”在某个旋转变换下的作用第一节旋转变换及其矩阵表示第一节旋转变换及其矩阵表示对称变换是一种几何变换，一般是将图形相对于某个轴或点进行变换，使其与原图形具有对称关系的一种变换.常见的对称变换可以分为以下几种：（1）轴（关于直线）对称：使像与原像具有关于该直线的对称关系.（2）中心对称：图形相对于某个点进行对称变换，使其与原图形具有中心对称关系.第二节对称变换及其矩阵表示对称变换在自然界和生活中许多领域都有着广泛的应用.通过对称变换，可以观察到自然界中形形色色的对称现象，也可以在人类设计和艺术创作中看到对称的美学价值.同时，对称变换也在科学研究、工程技术和日常生活中发挥着重要作用.自然界