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第七章向量空间法
第七章第一节主要学习内容向量
导入向量是线性代数中最基本的概念,在数学和应用科学领域发挥着重要的作用,它不仅是解决几何问题的桥梁,而且在物理学、计算机图形学、数学建模等领域中扮演着重要的角色.向量空间是满足某些性质的集合,在向量空间中通过描述向量与矩阵的关系,向量与向量的线性组合来解决线性方程组解的问题.本章主要介绍了二维向量,三维向量,n维向量以及向量空间的基础概念和性质,在向量空间中通过向量组的性质来求解齐次(非齐次)线性方程的解.
一、向量《自然哲学的数学原理》(PhilosophiaeNaturalisPrincipiaMathematica)是艾萨克·牛顿(IsaacNewton,1643-1727)的伟大著作,在这本书中他确立了牛顿物理学的原理,用经典的二维和三维几何学为“运动”和“力”这两个新演员搭建舞台,牛顿发现,对力的分析需要人们同时获取“力有多大?”以及“在什么方向上施力?”在这方面,他预见了向量的概念,向量是具有大小和方向的数学量.第一节向量向量是指既有大小又有方向的量,仅有大小没有方向的量叫做标量或数量.
二、二维向量存在于在同一个平面的“向量”称为二维向量,又称为平面向量.例如物理中的力和速度,这些量是既有大小又有方向的
二维向量的三种表示:几何表示:带有方向的线段叫做有向线段,如图7-1二维向量所示,A是起点,B是终点,箭头表示方向.向量可以用有向线段表示.其中有向线段的方向表示向量的方向,有向线段的长度表示向量的大小.图7-1二维向量一切向量的共性是它们都有大小和方向,因此与起点无关的向量称为自由向量.即自由向量可在同一平面自由平移,平移后不影响向量的大小及方向.本文所研究的向量均为自由向量.
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?图7-3向量a的坐标表示图7-2向量的坐标表示
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?两个向量的夹角及位置关系图7-4向量的夹角
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?图7-5木块滑动
?图7-6向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则两向量首位顺次相接,首指向尾为和
?图7-7向量加法的平行四边形法则两向量共起点为邻边作平行四边形,共起点对角线为和.向量加法的平行四边形法则?
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?图7-11平行向量的和
?图7-12向量加法的交换律
?图7-13向量加法的结合律
?向量减法运算
?即两向量相减,共起点,连终点,方向指向被减向量图7-14向量减法的平行四边形法则
?图7-15向量减法的三角形法则?
?向量的数乘运算
向量数乘运算的性质:?图7-16向量加法的结合律
向量数乘运算的性质:?图7-17向量加法的分配律(1)图7-18向量加法的分配律(2)
??定理7.1.1
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?向量线性运算的坐标表示
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?三、三维向量图7-21空间直角坐标系
?图7-22右手法则
空间直角坐标系中任意两条坐标轴可以确定一个平面,这样的平面称为坐标面.空间直角坐标系有三个坐标面,分别是由x轴、y轴所确定的xoy面,由y轴、z轴所确定的yoz面,由x轴、z轴所确定的zox面.三个坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称为一个卦限,如图7-23空间直角坐标系卦限图所示.图7-23空间直角坐标系卦限图
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表7-1空间直角坐标系的八个卦限+--++--+++--++--++++----卦限IIIIIIIVVVIVIIVIII
几何表示:与二维向量类似,空间中的有向线段可以表示三维向量,如图7-24三维向量,A是起点,B是终点,箭头表示方向.有向线段的方向表示向量的方向,有向线段的长度表示向量的大小.图7-24三维向量三维向量的三种表示
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?图7-25三维向量的坐标表示
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?两个向量的夹角及位置关系图7-26空间两向量的夹角?
?向量的共线与共面
?三维向量的线性运算
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?向量线性运算的坐标表示
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?向量的方向角与方向余弦图7-27向量的方向角?
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?向量在轴上的投影图7-28向量投影?
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?数量积的坐标表示
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?图7-30数量积的分配律
?图7-30数量积的分配律
?图7-31数量积的数乘
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?向量积
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?向量的运算
?向量的运算?
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?向量与矩阵的关系
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?向量组
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?类似地????
?线性方程组的向量表示
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?五、向量空间
?定义7.1.1
线性关系?定义7.1.2
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?定义7.1.3
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若向量组有一个部分组线性相关,则向量组整体线性相关.定理7.1.2?
?推论7.1.2-1
?定理7.1.3
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?定
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