第十三章　立体几何初步（压轴题专练）（解析版）_1.docx

第十三章立体几何初步（压轴题专练）

题型一基本立体图形的概念

【例1】下列说法正确的是()

A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

【解析】棱柱的结构特征是：有两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边互相平行，这些面所围成的几何体叫作棱柱，故A错误；四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，B正确，如图所示：PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为矩形；有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱的延长线不相交于一点，则不是棱台，故C错误；由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误．故选B．

【答案】B

思维升华

此类问题的解法是主要掌握好棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的概念和几何特征，以及它们的展开图的形状，从而正确的得到结论．

巩固训练

如图所示的组合体，其结构特征是()

A．左边是三棱台，右边是圆柱

B．左边是三棱柱，右边是圆柱

C．左边是三棱台，右边是长方体

D．左边是三棱柱，右边是长方体

解析：选D．根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体．故选D．

题型二空间中的共点、共线、共面问题

【例2】如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

求证：(1)E，F，G，H四点共面；

(2)GE与HF的交点在直线AC上．

【证明】(1)因为BG∶GC＝DH∶HC，

所以GH∥BD，又因为E，F分别为AB，AD的中点，

所以EF∥BD，所以EF∥GH，

所以E，F，G，H四点共面．

(2)因为G，H不是BC，CD的中点，

所以EF≠GH.

又EF∥GH，

所以EG与FH不平行，

则必相交，设交点为M，

eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(EG?平面ABC,HF?平面ACD))?M∈平面ABC且M∈平面ACD，

所以M在平面ABC与平面ACD的交线上，

所以M∈AC.

所以GE与HF的交点在直线AC上．

思维升华

巩固训练

在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于点E，F，G，H.求证：E，F，G，H必在同一直线上．

证明：因为AB∥CD，

所以四边形ABCD是一个平面图形，

即AB，CD确定一个平面β，则AB?β，AD?β.

因为E∈AB，

所以E∈β，

因为H∈AD，所以H∈β.

又因为E∈α，H∈α，

所以α∩β＝EH.

因为DC?β，G∈DC，

所以G∈β.

又因为G∈α，

所以点G在α与β的交线EH上．

同理，点F在α与β的交线EH上．

所以E，F，G，H必在同一条直线上．

题型三直线与平面平行的综合应用

【例3】如图所示，已知四边形ABCD为梯形，AB∥CD，CD＝2AB，M为线段PC上一点．

(1)设平面PAB∩平面PDC＝l，证明：AB∥l；

(2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MBD，若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)证明：因为AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，

所以AB∥平面PCD，又因为平面PAB∩平面PDC＝l，且AB?平面PAB，

所以AB∥l.

(2)存在点M，使得PA∥平面MBD，此时eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,2).

证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO.

因为AB∥CD，且CD＝2AB，所以eq\f(AB,CD)＝eq\f(AO,OC)＝eq\f(1,2)，

又因为eq\f(PM,MC)＝eq\f(1,2)，PC∩AC＝C，

所以PA∥MO，因为PA?平面MBD，MO?平面MBD，

所以PA∥平面MBD.

思维升华

证明直线与平面平行的实质是证明直线与直线平行，将线线平行转化为线面平行；而证明直线与平面平行的性质定理的实质是将线面平行转化为线线平行；实现了线线平行与线面平行的相互转化．

巩固训练

如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.

(1)求证：BC∥l；

(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．

【解析】(1)证明：因为BC∥AD，AD?平面PAD，

BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.

又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.

(2)MN∥平面PAD.证明如下：

如图所示，取PD中点E，连接AE，EN.

又因为N为PC的中点，所以ENeq\o(