重难点02：含参分类讨论函数的单调性常见题型做题策略-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）（解析版）.docx

重难点02：含参分类讨论函数的单调性常见题型做题策略

1．设函数，其中.

(1)当时，求函数在处的切线方程；

(2)讨论的单调性；

【答案】(1)

(2)函数在上单调递减，在上单调递增

【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，写出方程即可.

（2）含参讨论函数单调性即可.

【详解】（1）当时，，故，

此时函数在处的切线方程为：.

（2）由题意，的定义域为，

，

则当时，单调递增；当时，单调递减.

故函数在上单调递减，在上单调递增.

2．已知函数

(1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)答案见解析.

【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性.

【详解】（1）当时，，定义域为，

，所以切点为，

又因为，所以，即切线的斜率等于2，

根据点斜式得，整理得.

（2）,

当时，恒成立，所以在上单调递增，

当时，令即解得，

令即解得，

所以在单调递增，单调递减.

3．已知函数．

(1)若函数在处取得极小值－4，求实数a，b的值；

(2)讨论的单调性．

【答案】(1)

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）根据求导和极值点处导数值为0即可求解；（2）求导，分类讨论的取值即可求解.

【详解】（1），则

即解得，经验证满足题意，

（2）

令解得或

1°当时，在上单调递增

2°当时，在，上单调递增，上单调递减

3°当时，在，（上单调递增，上单调递减

4．已知函数.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导数，然后对进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；

（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在处取得最小值，即可求实数的取值范围.

【详解】（1）解：求导可得

①时，令可得，由于知；令，得

∴函数在上单调递减，在上单调递增；

②时，令可得；令，得或，由于知或；

∴函数在上单调递减，在上单调递增；

③时，，函数在上单调递增；

④时，令可得；令，得或，由于知或

∴函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）由（1）时，，（不符合，舍去）

当时，在上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得最小值，所以函数对定义域内的任意x恒成立时，只需要即可

∴.

综上，.

5．设函数其中．

（1）当时，求曲线在点处的切线斜率；

（2）求函数的单调区间．

【答案】（1）1；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题设得，求出即可知切线斜率；

（2）由题意，讨论的符号，即可求单调区间．

【详解】（1）由题设，，则，

∴，故点处的切线斜率为1.

（2）由题设，，又，

∴，且，

当时，，单调递增；

当时，或，单调递减；

∴在上递增，在、上递减.

6．已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）已知且，若函数没有零点，求a的取值范围.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【分析】（1）先求导，再分和进行讨论即可得解；

（2）根据（1）可知，当时，在上单调递增，则保证即可得解.

【详解】（1），

令，则或，

①若，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

②若，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

综上所述，当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和.

（2）当时，由（1）可知，在上单调递增，

若函数没有零点，则，解得，

故a的取值范围为.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论思想，要求较高的计算能力，在高考中考压轴题，属于难题.

7．已知函数，其中，

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式

（2）讨论函数的单调性

【答案】（1）函数的解析式为；（2）见解析.

【详解】（1），由导数的几何意义得，于是，由切点在直线上得，解得，所以函数的解析式为

（2）

当时，显然，这时在上是增函数

当时，，解得

所以在，上是增函数，在，上是减函数.

8．已知函数.

（1）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（2）若，使（）成立，求实数a的取值范围.

【答案】(1);(2)．

【详解】由已知函数的定义域均为,且.

(1)函数,

因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．

(2)命题“若使成立”等价于“当时，有”．

由（1），当时，，．

问题等价于：“当时，有”．

当时，由（1），在上为减函数，

则=，故．

当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得．

考点：1.导数公式；2.