北师版高考理科数学一轮总复习课时练习题 第5章 平面向量及其应用、复数 平面向量的数量积及其应用.docVIP

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课时规范练27平面向量的数量积及其应用

基础巩固组

1.(北京人大附中高三月考)在等边三角形ABC中,AB=1,D为AB边的中点,则AC·

A.34 B.14

答案:C

解析:∵AC,

∴|DA|=1

∴AC·DA=|AC||DA|cos120°=1×12×

2.(河北张家口二模)设平面向量a=(1,0),若a·b=2,cosa,b=13

A.2 B.3

C.9 D.6

答案:D

解析:cosa,b=a·

3.(山西太原一模)已知a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,则|2a+b|=()

A.3 B.7 C.

答案:C

解析:a,b为单位向量,且满足|a-b|=2,

所以a2-2a·b+b2=2,

解得a·b=0,所以|2a+b|=4

4.(西藏拉萨二模)已知向量a=(-1,2),b=(3,2),则cosa+b,a-b为()

A.1010 B.-55 C

答案:B

解析:因为a=(-1,2),b=(3,2),

所以a+b=(2,4),a-b=(-4,0).

所以cosa+b,a-b=(a+b)·(

5.(江西萍乡二模)已知a与b满足|a|=1,|b|=2,|a-2b|=13,则a与b的夹角为()

A.120° B.90° C.60° D.30°

答案:C

解析:由|a-2b|=13,等式左右平方得,(a-2b)2=a2-4a·b+4b2=1-4a·b+4×4=13,所以a·b=1,即1×2×cosa,b=1,cosa,b=12

6.(吉林长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行,如图所示已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|=10km/h,水流的速度v2的大小|v2|=4km/h,设v1和v2所成角为θ(0θπ),若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则cosθ等于()

河流两岸示意图

A.-215 B.-25 C.-3

答案:B

解析:由题意知(v1+v2)·v2=0,有|v1||v2|cosθ+v22=0,即10×4cosθ+4

所以cosθ=-2

7.(贵州贵阳二模)若向量a,b满足|a|=2,(a+2b)·a=6,则b在a方向上的射影为()

A.1 B.-1 C.-12 D

答案:D

解析:由已知条件可得(a+2b)·a=a2+2a·b=4+2a·b=6,

∴a·b=|a|·|b|cosa,b=1,因此,b在a方向上的射影为|b|cosa,b=1

8.(山东济南一模)已知单位向量a,b,c,满足a+b+c=0,则a与b的夹角为()

A.π6 B.π3

答案:C

解析:由a+b+c=0,得a+b=-c,所以|a+b|=|-c|,即|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=1,

所以a·b=-12,由a·b=|a||b|·cosa,b=-12

9.(山西晋中三模)若向量m=(0,-2),n=(3,1),写出一个与2m+n垂直的非零向量.?

答案:(3,1)(答案不唯一)

解析:因为m=(0,-2),n=(3,1),

所以2m+n=2(0,-2)+(3,1)=(3,-3),

设a=(+n)=0,即3x-3y=0,

令x=3,则y=1,所以a=(3,1).

10.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,BC=4,O为BC的中点,以O为圆心,1为半径的半圆与线段OC交于点D,P为半圆上任意一点,则BP·AD的最小值为

答案:2-5

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,

则B(-2,0),A(0,2),D(1,0),设P(x,y)(y≥0),故BP=(x+2,y),AD=(1,-2),

所以BP·AD=x-2y+2.令x-2y+2=t,当直线x-2y+2=t与半圆相切时,t取得最小值,由点到直线的距离公式可得|2-t|

11.(北京海淀模拟)已知向量a,b满足:|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2,则a与b的夹角为;|2a-b|=.?

答案:π32

解析:由题意,向量a,b满足|a|=1,|b|=6,

因为a·(b-a)=a·b-a2=a·b-1=2,可得a·b=3,

则cosa,b=a·

因为a,b∈[0,π],所以a,b=π3

即a与b的夹角为π3

又由|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4×12-4×3+62=28,所以|2a-b|=27

综合提升组

12.(湖南师大附中高三月考)已知a,b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是()

A.π6 B.π3

答案:B

解析:∵(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,

∴(a-2b)·a=a2-2a·b=0,

(b-2a)·b=b2-2a·b=0,

∴a2=b2=2a·b,

设a与b的夹角为θ,cosθ=a·