2024-2025学年度八年级数学下册重点突围专题11菱形的性质与判定[含答案].pdf

专题11菱形的性质与判定

【考点一】菱形的性质与判定综合考

例题：（浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，ABAD，对角线AC、BD交于

O，AC平分BAD．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)过点C作CEAB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB35，BD6，求OE的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)6

【解析】

【分析】

（1）由平行线的性质，角平分线的定义可知DCADAC，根据一组对边平行且相等证明四边形

ABCD是平行四边形，进而可证平行四边形ABCD是菱形；

1

OBBD3

2OACOERtAEC

（2）由菱形的性质可知，为线段的中点，则是斜边上的中线，可知

1

OEACOAOC22

2，在RtAOB中，由勾股定理得OAABOB，求出OA的值，进而可得OE的值．

(1)

证明：∵ABCD，

∴CABDCA，

∵AC为BAD的平分线，

∴CABDAC，

∴DCADAC，

∴CDAD，

∴CDAB，

又∵ABCD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又ADAB，

1

∴平行四边形ABCD是菱形．

(2)

解：∵四边形ABCD是菱形，BD6，

1

OBBD3

∴OAOC，BDAC，2，

OAC

∴为线段的中点

∵CEAB，

∴AEC90，

∴OE是RtAEC斜边上的中线，

1

OEACOAOC

∴2，

在RtAOB中，AB35，OB3，由勾股定理得OAAB2OB26，

∴OEOA6，

∴OE的长为6．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三

角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

【变式训练】

1．（吉林四平·八年级期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，且BE＝DF．

(1)求证：四边形ABCD是菱形；

(2)连接EF，若∠CEF＝30°，BE＝2，直接写出四边形ABCD的周长．

【答案】(1)见解析

(2)16

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的性质可得∠B＝∠D，进而易证△ABE≌△ADF（ASA，即得出AB=AD，进而即可求证

结论：▱ABCD是菱形；

2

（2）由菱形的性质可知BC=CD，进而可得CE=CF，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出

∠ECF=120°，即求出∠B=60°，最后利用含30°角的直角三角形的性质即可求出AB的长，进而即可求

出菱形的周长．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形

∴∠B＝∠D，

∵AE⊥BC，AF⊥CD，

∴∠AEB＝∠AFD＝90°，

在△AEB和△AFD中，

BD





BEDF



AEBAFD

