2024-2025学年度八年级数学下册重点突围专题12正方形的性质与判定[含答案].pdfVIP

专题12正方形的性质与判定

【考点一】正方形的性质与判定综合考

ABCDBCEADA

例题：（四川达州·九年级期末）如图，在中，是的中点、是中点，过点作

AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．

(1)求证：AFDC；

(2)若ACAB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；

(3)直接回答：当ABC满足________时，四边形ADCF是正方形．

【答案】(1)见解析；

(2)四边形ADCF是菱形，见解析；

(3)AC=BC

【解析】

【分析】

（1）利用AF∥BC推出∠DBE=∠AFE，由此证明△BED≌△FEA（AAS），得到BD=AF，即可得到结论；

（2）根据直角三角形斜边中线得到AD=CD，即可证得四边形ADCF是菱形；

（3）当△ABC满足AC=BC时，理由等腰三角形的三线合一的性质得到AD⊥BC，即可证得四边形ADCF是

正方形．

(1)

证明：∵AF∥BC，

∴∠DBE=∠AFE，

EAD

∵是中点，

∴AE=DE，

∵∠BED=∠AEF，

∴△BED≌△FEA（AAS），

∴BD=AF，

1

DBC

∵是的中点，

∴BD=CD，

∴CD=AF；

(2)

四边形ADCF是菱形，理由如下：

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形，

∵AC⊥BC，点D是BC的中点，

∴AD=BD=CD，

∴四边形ADCF是菱形；

(3)

当△ABC满足AC=BC时，四边形ADCF是正方形，理由如下：

∵∠BAC=90°，AC=BC，AD为中线，

∴AD⊥BC，

∴菱形ADCF是正方形，

故答案为：AC=BC．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定及性质，证明四边形是菱形，证明四边形是正方形，等腰三角形三线合一的

性质，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．

【变式训练】

ADABCDE∥ACABE

1．（云南省个旧市第二中学八年级期中）如图：已知：是的角平分线，交于，

DF∥AB交AC于F．

(1)求证：四边形AEDF是菱形；

(2)当ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？

2

【答案】(1)见解析

(2)BAC90

【解析】

【分析】

（1）根据平行四边形的判定定理：有两组对边相互平行的四边形是平行四边形，推知四边形AEDF是平

行四边形；然后由平行四边形的对角相等、对角线平分对角的性质以及角平分线的性质证得

EADEDA；最后由等角对等边推知ABCD的邻边AEDE；

（2）由正方形的四个角都是直角的性质知三角形ABC中BAC90．

(1)

解：证明：DE//AC，DF//AB，

DE//AFDF//AE

，，

四边形AEDF是平行四边形（有两组对边相互平行的四边形是平行四边形），

EAFEDF（平行四边形的对角相等）；

又AD是ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA=∠FAD，

EADEDA

，

AEDE（等角对等边），

四边形AEDF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）；

(2)

解：由（1）知，四边形AEDF是菱形，

当四边形AEDF是正方形时，EAF90，即BAC90，

ABC的BAC90