《空间中点、直线和平面的向量表示》同步学案(教师版).docxVIP

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《空间中点、直线和平面的向量表示》同步学案

情境导入

满天繁星的夜空,偶尔流星划过,留下一道明亮的光线.一些星星连线构成一个星座图.我们知道,流星线可以看成由点运动构成的线,星座图可以看成由若干条相交的线构成.据此大家思考,空间中的点、直线、平面如何用向量表示呢?

自主学习

自学导引

1.在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量________来表示.我们把向量________称为点P的_________.

2.空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l.用向量表示直线l,就是用点A和直线l________的来表示直线上的任意一点.设a是直线l的方向向量,在直线l上取向量AB=a,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得_________,即_______.进一步地,取定空间中的任意一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使________,

3.取定空间任意一点O,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使__________.

若直线l?α,取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面α的________.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为的平面完全确定,可以表示为集合_________.

答案:

1.OPOP位置向量

2.方向向量AP=taAP=tAB

3.OP=OA+xAB

预习测评

1.若A10-1,B212在直线

A.1

B.1

C.3

D.-3

2.直线l1与l2不重合,直线l1的方向向量v1=-112,直线l2

3.已知平面内的两个向量a=23

A.1

B.2

C.-2

D.-1

答案

1.B

解析:AB=

2.垂直

解析:因为v1?v2

3.C

解析:显然向量a与b不平行,设该平面的法向量为n=xyz,则有a?n=0,b?n=0,

新知探究

探究点1直线的方向向量

知识详解

空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个方向确定.

如图,A是直线l上一点,在直线l上取非零向量e,我们把与向量e平行的非零向量称为直线l的方向向量.

注意:(1)直线AB的方向向量有无数个,哪个易求求哪个.

(2)利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置,进而利用向量的运算可以确定直线上任一点的位置.

典例探究

例1在空间直角坐标系中,已知点A201,B(2,6,3),P是直线AB上一点,且满足AP:PB=3:2,则直线AB的一个方向向量为___________,

解析:AB=062

由AP:PB=3:2,得AP=

设Pxyz,

即x-2=0,y=18

解得x=2,y=18

所以直线AB的一个方向向量是062,点P的坐标为

答案:0

变式训练1已知向量a=2-13和b=(-4,2x2,6x)

A.-1

B.1或-1

C.-3

D.1

答案:A

解析:由题意得a//b,所以2x

探究点2平面的法向量

知识详解

设向量:设平面的法向量为n

选向量:在平面内选两个不共线向量AB

列方程组:由n?

解方程组:解方程组

赋值:取x,y,z中一个为某值(常取±1)

得结论:得到平面的一个法向量

典例探究

例2如图,四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA?平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=12,求平面

解析:因为与平面垂直的向量为平面的法向量,所以先观察图中有无垂直于平面的直线,若有,利用直接法求出;若没有,设出法向量n,再利用待定系数法求解.

答案:因为AD,AB,AS是三条两两垂直的线段,所以以A为原点,以AD,AB,AS的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A00

设平面SCD的一个法向量n=1λu

则n?

所以λ=-1

同理,n?

所以u=12,所以

即n=1-1

变式训练2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为B

答案:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(

不妨设正方体ABCD-A1B1C

所以AM=

设平面AMN的法向量为n=

则n

取y=2,则x=-3,z=-4,

所以n=-32-4

易错易混解读

例下列说法正确的个数是()

(1)若向量AB是直线l的一个方向向量,则向量BA也是l的一个方向向量.

(2)若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量

(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反.

(4)一个平面的法向量有无数多个,它们是共线向量.

(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量.

A.2

B.3

C.4