解三角形题型培优(教师版).pdf

5.三角形中的最值、范围问题

【知识储备】

三角形中的最值范围问题处理方法

1、利用基本不等式求最值、范围-化角为边

余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式

求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。

2、转为三角函数求最值、范围-化边为角

如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时

候可以转化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。

要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边

【

Z题型精讲】

题型一:【

与角有关的最值、范围问题】

5.1在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA-3a=0．

(1)求角B的大小；

(2)求cosA+cosB+cosC的取值范围．

sinA，

【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA=3又在△ABC中，sinA0，

3π

，．

故sinB=由题意得B=

23

2πππ

(2)由A+B+C=π，得C=3-A．由△ABC是锐角三角形，得A∈6，．2

2π13

由co-A=-cosinA，

sC=cos32sA+2得

311π13+13

cosA+cosB+cosC=2sinA+co2sA+2=sinA++∈622，．2

3+13

故cosA+cosB+cosC的取值范围是2，．2

5.2已知ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(acosC+ccosA)cosC+b=0．

(1)求角C的大小；

22

(2)求sinA+sinB的取值范围．

2π13

【答案】(1)C=(2),

324

【

解析】(1)因为2(acosC+ccosA)cosC+b=0，又acosC+ccosA=b，

145

12π

所以2bcosC+b=0，故cosC=-，由C为三角形的内角得C=；

23

(2)由(1)知A+B=π，

3

221-cos2A+1-cos2B11

sinA+sinB==1-(cos2A