4.2 对数（九大题型）（原卷版）.docx

4．2对数

课程标准

学习目标

1、了解对数的概念．

2、会进行对数式与指数式的互化．

3、掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程．

4、通过对数的运算性质的探素及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识

1、数学抽象：对数运算性质的符号表示

2、逻辑推理：对数运算性质的推导、理解指数运算与对数运算之间的关系

3、数学运算：对数运算性质的运用

4、数学建模：能运用对数运算解决实际问题

知识点01对数概念

1、对数的概念

如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数．

知识点诠释：

对数式中各字母的取值范围是：且，，．

2、对数（ 且）具有下列性质：

（1）0和负数没有对数，即；

（2）1的对数为0，即；

（3）底的对数等于1，即．

3、两种特殊的对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为．

4、对数式与指数式的关系

由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．

【即学即练1】（2023·高一校考课时练习）在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

知识点02对数的运算法则

已知，（且，、）

（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；

推广：

（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；

（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

知识点诠释：

（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．

（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：

，

，

．

【即学即练2】＝（????）

A．1 B．2

C．－1 D．－5

知识点03对数公式

1、对数恒等式：

2、换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0，a≠1，M0的前提下有：

（1）

令，则有，，即，即，即：．

（2），令，则有，则有

即，即，即

当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：．

【即学即练3】化简求值：.

题型一：对数的定义

例1．（2023·全国·高一专题练习）有下列说法：

①以10为底的对数叫作常用对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以e为底的对数叫作自然对数；

④零和负数没有对数.

其中正确的个数为（??）

A．1 B．2 C．3 D．4

例2．（2023·高一校考课时练习）若，则x的取值范围是

A． B．

C． D．

例3．（2023·北京·高一东直门中学校考阶段练习）使式子有意义的x的取值范围是（????）

A． B． C． D．,且

变式1．（2023·高一课时练习）对数式中实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式2．（2023·高一单元测试）使对数有意义的的取值范围为

A． B． C． D．

变式3．（2023·江苏·高一假期作业）在中，实数a的取值范围是

A． B． C． D．

【方法技巧与总结】

对数式中各字母的取值范围是：且，，．

题型二：指数式与对数式互化及其应用

例4．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．

(1)

(2)

(3).

例5．（2023·高一课时练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

例6．（2023·全国·高一专题练习）将下列指数式与对数式互化：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

变式4．（2023·高一课时练习）将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：

(1)2－7＝；

(2)；

(3)lg1000＝3；

(4)

变式5．（2023·高一课时练习）将下列对数式为指数式或指数式化为对数式：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

变式6．（2023·全国·高一专题练习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．

（1）；

（2）；

（3）．

变式7．（2023·高一课时练习）将下列指数式与对数式互化:

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）(x0，且x≠1，y0).

【方法技巧与总结】

对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.

题型三：利用对数恒等式化简求值

例7．（2023·江西赣州·高一校考期中）的值.

例8．（2023·浙江杭州·高一统考期末）计算：，