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《空间向量运算的坐标表示》题型突破

重难点突破

1.空间向量的坐标表示

设Ax1y

AB

这表明一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

2.空间直角坐标系中的对称问题

对称问题常利用对称的定义求解:一般地,点P(x,y,z)关于坐标平面Oxy,Oyz,Ozx的对称点的坐标分别为xy-z,-xyz,x-yz;关于x轴、y轴、z

3.空间向量运算的坐标表示

空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示完全一致.

设a=a

a

a

λ

a

当b≠0时,a//b

4.空间向量的模的公式与夹角公式

(1)空间向量的模的公式

设a=a1a

(2)空间向量的夹角公式

设a=a1a

注意:(1)当cosab=1时,a与

(2)当cosab=-1时,a与

(3)当cosab=0时

5.空间两点间的距离公式的应用

设P1

则P1

求解距离问题的关键是准确确定点的坐标,正确使用空间两点间的距离公式.若是在具体的立体几何问题中,则需建立适当的空间直角坐标系,结合具体的图形特征,利用空间两点的距离公式求解.

6.利用坐标法求解立体几何问题时的三个步骤:

(1)在立体几何图形中建立空间直角坐标系;

(2)依题意确定各相应点的坐标;

(3)通过坐标运算得到答案.

典型例题剖析

题型1空间向量运算的坐标表示

例1已知A,B,C三点的坐标分别是2-12,45-1,

(1)OP=

(2)AP=

解析:利用向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标求出AB,AC,然后进行坐标运算得到OP,AP,

答案:因为A,B,C三点的坐标分别是2-12,

所以AB=

(1)OP=12AB-AC=1

(2)设点P的坐标为xyz,则AP=(x-2,y+1

由(1)知,AP=

则x-2=3,y+1=3

所以点P的坐标为51

变式训练1已知空间三点A-202,B(-1,1,2),C-30

答案:因为A-2

所以AB=-11

所以2AB+3AC

题型2空间向量的平行与垂直

例2已知A100,B010

解析:由已知条件DB//AC,DC//AB,转化为向量平行,用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示,可求得点D的坐标.

答案:设Dxyz,

由DB//AC,可设DB=λ

即-x1-y

则-x=-λ,1-y=0,-z=2λ,解得x=λ,y=1,z=-2λ,

所以DC=

又DC//AB,所以DC//AB,设

即-λ-1

则-λ=-μ,

解得λ=μ=-1.

所以点D的坐标为-11

变式训练2如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱A

答案:如图所示,以CACBCC1为正交基底

依题意得B010,A1

于是A1

所以A1

所以A1

故A1

题型3用空间向量坐标运算解决夹角、距离问题

例3如图所示,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,G

(1)求证:EF?B

(2)求EF与C1G

(3)求FH的长.

解析:根据正方体的特殊性,可考虑建立空间直角坐标系,写出相关点及向量的坐标,利用数量积、夹角、模的坐标表示公式即可.

答案:(1)如图所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,易知E001

因为EF=12

所以EF?

所以EF?B1C

(2)由(1)易知C1

所以C1

所以cosEF

即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为

(3)由(1)知F1

所以FH=

所以|FH

即FH的长为418

变式训练3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90

(1)求BN的长;

(2)求BA1与B

答案:如图,以CACBC

(1)依题意得B0

所以|BN|=1-02+0-1

(2)依题意得A1102

所以BA

又BA

所以cosBA1CB1=B

规律方法总结

1.用坐标表示空间向量的步骤:

2.(1)判断空间向量垂直或平行的步骤:

①向量化:将空间中的垂直或平行转化为向量的垂直或平行;

②向量关系代数化:写出向量的坐标;

③对于a=x1y1z1,b=x2y2z

(2)由空间向量垂直或平行求值,只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可.