大招5阿波罗尼斯圆（解题大招）.docx

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大招5??阿波罗尼斯圆

1．阿波罗尼斯圆的定义

平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线.

证明以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，．

因为，所以，所以，

所以，

所以，

所以，所以点M的轨迹是圆．

2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似

当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为，

即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为，

此时有，于是与相似．

若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于．

【典例1】已知两定点，，动点M与定点P，Q的距离之比（，），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为__________．

【大招指引】先根据阿波罗尼斯圆的性质得到三角形相似，进而得到比值和相应值.

【解析】如图所示，根据阿波罗尼斯圆的性质得，与相似，

于是有，

又，且阿波罗尼斯圆方程为，

所以，，因此，，

由于，因此，故的值为．

【题后反思】利用阿波罗尼斯圆的性质解决有关定点、定比问题，可简化运算过程，提高解题速度.

【温馨提醒】在处理定点、定值问题时，要注意一些结论的应用：已知动点P与两定点A、B的距离之比为λ（λ≠1），即已知两个定点A、B，及定比λ，则阿氏圆的常用公式，，阿氏圆的半径为：．

【举一反三】

1．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【典例2】若AB=2，，则三角形ABC面积的最大值为______．

【大招指引】先利用阿波罗尼斯圆的定义得到动点的轨迹方程，再利用阿波罗尼斯圆的半径公式得到半径，进而求出三角形面积的的最大值.

【解析】如图所示，，．设．，

所以，化为：．

可知：当且仅当取，三角形ABC的面积的最大值，

（或者直接用），故答案为．

【题后反思】该题也可以直接利用阿波罗尼斯圆的方程，写出圆的方程．

【温馨提醒】若三角形中出现（λ≠1），且c为定值，则点C位于阿波罗尼斯圆上．

【举一反三】

2．中，角的对边分别为，且，以下四个命题中正确的是（????）

A．满足条件的不可能是直角三角形

B．面积的最大值为

C．是中点，的最大值为3

D．当时，的面积为

3．在中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，若面积，且，则c最小值为．

4．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于．

5．在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为．

6．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为.

7．在平面四边形ABCD中，，，．若，则的最小值为．

8．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：与直线l：，若对圆O上任意一点P，在直线l上均存在两点E，F，使得，且，则r的取值范围为．

9．P，Q分别为圆A：，B：上动点，则为．

10．已知，P是圆：上任意一点，x轴上是否存在一点B，使？若存在，求出点B的坐标；若不存在，说明理由．

11．在平面直角坐标系中，点，直线，设圆C的半径为1，圆心在l上，若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标a的取值范围．

12．在平面直角坐标系xQy中，圆O：．

(1)P为直线l：上一点．

①若点P在第一象限，且，求过点P的圆O的切线方程；

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；

(2)已知，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使为定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说明你的理由．

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参考答案：

1．C

【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.

【详解】设，，所以，

又，所以．

因为且，所以，

整理可得，

又动点M的轨迹是，

所以，解得，

所以，又，

所以，因为，

所以的最小值为．

故选：C．

2．BD

【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定点的轨迹，由此判断各选项对错.

【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，

设，由，得，即，

，化简得：，