2024-2025学年度九年级数学上册第21单元一元二次方程(1)期中重难点（2024新教材）.docx

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第21章一元二次方程（1）——重难点

内容范围：21.1-21.2.3

知识点一：一般形式：

（1）一般形式中系数的特点

系数名称

系数符号

系数范围

二次项系数

是非零实数，即

一次项系数

是全体实数

常数项

是全体实数

（2）一元二次方程的一些特殊解与系数的关系

特殊解

系数的特征

一个根为1

一个根为

一个根为0

例1．

1．若关于x的一元二次方程的常数项是6，则一次项是（）

A． B． C．x D．1

例2．

2．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为，一次项系数为，则的值为（???）

A． B． C．-2 D．

变式1．

3．将一元二次方程化为一般形式为（????）．

A． B．

C． D．

变式2．

4．把方程化成一般形式后，的值是（????）

A．8 B．9 C． D．

知识点2一元二次方程的解法

（1）基本思想

一元二次方程一元一次方程

（2）解法的选择

方程的特征

方程示例

选用的解法

b=0

直接开平方法

c=0

因式分解法

a=1，b是偶数，

配方法

一边是0，另一边能分解因式

因式分解法

a、b、c中含有无理数

公式法

含未知数的多项式整体出现

换元法

例1．

5．如果实数x满足，那么的值是．

例2．

6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（???）

A． B． C． D．且

变1．

7．关于的一元二次方程的根的情况是（????）

A．没有实数根 B．有两个相等的实数根

C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关

变2．

8．用配方法解方程，方程变形为，则（????）

A．25 B．24 C．23 D．22

知识点3根的判别式

（1）一元二次方程根的判别式：；

（2）一元二次方程判别式的值与根的情况；

一元二次方程根的情况

判别式的值的特征

有两个不相等的实数根

有两个相等的实数根

有两个的实数根

没有实数根

（3）一元二次方程根的判别式的应用

应用类型

解题方法

不解方程，判断根的情况

计算的值，根据判别式的值与0的大小来判断

已知根的情况，求方程中参数的值或取值范围

根据根的情况确定判别式的值与0的大小关系，利用建立参数的方程或不等式求解

实际应用

在实际问题中列出一元二次方程，利用根的判别式判定方程的解的情况，再判断实际问题中的事件是否能够发生

例1．

9．已知关于x的一元二次方程．

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值．

例2．

10．已知关于x的方程的两个实数根，，若，则m的值为（???）

A． B．1 C．或1 D．或3

变1．

11．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（????）

A． B．-2 C． D．

变2．

12．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（????）

A． B． C． D．

知识点4配方法的应用

（1）配方法：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．

（2）配方法的主要步骤

把二次项系数转化为1→配方：加上一次项系数据的一半的平方，同时减去这个数→写成完全平方式的形式．

（3）配方法的应用

应用类型

解题方法

用配方法解一元二次方程

化二次项系数为1，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，写成标准形式后，用直接开平方法求解

用配方法求字母的值

一般把式子配方后分解因式，根据非负数原理求解

用配方法求代数式的最值

一般把代数式配方为一个完全平方式加上一个常数的形式，根据完全平方式的非负性求解

例1．

13．教科书中这样写道：“形如的式子称为完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题．

例如：分解因式：．

解：原式

再如：求代数式的最小值．

解：，

当时，有最小值，最小值是．

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：（应用配方法）

(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．

(3)利用配方法，尝试求出等式中，的值．

例2．

14．已知，，下列结论正确的是（）

A．的最大值是0 B．的最小值是

C．当时，为正数 D．当时，为负数

变1．

15．已知点，点，下列关于点与点的位置关系说法正确的是（????）

A．点在点的右边

B．点在点的左边

C．点