2024-2025学年度八年级数学上册第11章三角形（2）重难点讲解（2024新教材）.docx

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第11章三角形（2）——重难点

内容范围：11.3-11.3

知识点一：多边形的对角线

1．多边形的对角线

（1）定义：连接多边形两个不相邻顶点的，叫做多边形的对角线；

（2）数量：过一个顶点引出的对角线有条，多边形对角线有条；

2．多边形分割为三角形

（1）过一个顶点引对角线，把多边形分割为个三角形；

（2）在多边形内部确定一点，连接顶点和这个点，把多边形分割为个三角形；

例1．

1．多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（????）

A． B． C． D．

例2．

2．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是边形．

变式1．

3．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（????）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

变式2．

4．过n边形的一个顶点可以画出10条对角线，将它分成m个小三角形，则的值是．

知识点二：多边形的内角和外角

1．多边形的内角和与外角和

多边形的内角和

多边形的外角和

2．正多边形的每个内角和外角

正多边形的每个内角度数

正多边形的每个外角的度数

3．多边形多（少）加一个角

条件

解题技巧

多加一个角后为

，去尾法，保留整数

少加一个角后为

，进一法，保留整数

4．复杂图形的内角和

利用外角模型、8字模型、飞镖模型等，把复杂图形转化为三角形和多边形，利用三角形和多边形求内角和．

例1．

5．如图，的度数为（）

A． B． C． D．

例2．

6．如图，在七边形中，，的延长线交于点O．若与，，，相邻的四个外角的和为，则的度数为．

变式1．

7．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（????）

A．米 B．米 C．米 D．米

变式2．

8．请根据对话回答问题：

(1)小明为什么说这个凸多边形的内角和不可能是？

(2)小敏求的是几边形的内角和？

知识点三：平面镶嵌

1．平面镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是．要求不重叠，无缝隙；

2．平面镶嵌

条件

符合条件的多边形

用一种任意多边形镶嵌

全等三角形，全等四边形，

用同一种正多边形镶嵌

正三角形，正方形，正六边形

用两种正多边形镶嵌

（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6）（3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（5，5，10）

用三种正多边形镶嵌

（3，4，4，6）（4，6，12）（3，3，4，12）（3，10，15）（3，9，18）（3，8，24）（3，7，42）（*4，5，20）

例1．

9．下列图形中，单独选用不能进行平面镶嵌的是（???）

A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形

例2．

10．如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，则白皮块，黑皮块．

变式1．

11．在下列正多边形组合中，不能铺满地面的是（）

A．正八边形和正方形 B．正五边形和正八边形

C．正六边形和正三角形 D．正三角形和正方形

变式2．

12．【问题再现】

现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至服装面料设计中随处可见．在七年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中的几个问题，共同来探究．

我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．比如用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角．

试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着_______个正六边形的内角．

【问题提出】

如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可设计出几种不同的组合方案？

【问题解决】

猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？

分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．

验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意可得方程：，整理得．我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为．

结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着