圆的一般方程高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

2.4.2圆的一般方程

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(3)求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.(4)要画出圆,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.

探究点一圆的一般方程的理解?例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.

变式下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心坐标和半径.(1)x2+y2-4x=0;(2)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(3)x2+y2+2ax=0.?

[素养小结]二元二次方程与圆的关系:(1)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:①由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,若D2+E2-4F0,则方程表示圆,否则不表示圆.②将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.

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探究点二求圆的一般方程例2(1)经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为 ()A.x2+y2+7x-3y+2=0B.x2+y2-7x-3y-2=0C.x2+y2-7x+3y+2=0D.x2+y2-7x-3y+2=0?D

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[素养小结]求圆的方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径长;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程.

探究点三与圆有关的轨迹方程?例3已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

?例3已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

变式已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,则线段OP(O为坐标原点)的中点M的轨迹方程为.???

[素养小结]求与圆有关的轨迹方程的常用方法:(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)的运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.

探究点四与圆有关的最大(小)值问题?例4已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.

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1.用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择:(1)由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.

例1求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程.?

例1求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程.?

2.求轨迹方程的常用方法:直接法、代入法(相关点法).在确定轨迹范围时,应注意以下五个方面:①要准确理解题意,挖掘隐含条件;②列式不改变题意,并且要全面考虑各种情形;③推理要严密,方程化简要等价;④消参时要保持范围的等价性;⑤数形结合,查“漏”补“缺”.

例2点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.解:(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式得点P的坐标为(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.

例2点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),连接BN,在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,OP(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

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例3设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线