1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类

一、空间向量研究距离问题

1．点P到直线l的距离:

→

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量AP在直线l上的投影向量

→

为＝a，则点P到直线l的距离为a2－a·u2(如图)．

AQ

2．点P到平面α的距离:

→

|AP·n|

设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．

|n|

3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.

4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.

5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．

二、空间向量研究夹角问题

1．两个平面的夹角：

平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面

角称为平面α与平面β的夹角．

2．空间角的向量法解法

角的分类向量求法范围

设两异面直线l，l所成的角为θ，

12

其方向向量分别为u，v，π

线线角

0，

(2]

|u·v|

则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

|u||v|

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的

方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cosπ

线面角

0，

[2]

|u·n|

〈u，n〉|＝