1.1.2空间向量的数量积运算8题型分类（讲+练）（学生版） 2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第一册）.pdf

1.1.2空间向量的数量积运算8题型分

一、空间向量的夹角

→→

1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，

OAOB

记作〈a，b〉．

2．范围：0≤〈a，b〉≤π.

π

特别地，当〈a，b〉＝时，a⊥b.

2

当〈a，b〉＝0时，a与b同向；当〈a，b〉＝π时，a与b反向．

二、空间向量的数量积

定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

性质：①a⊥b⇔a·b＝0

②a·aa2|a|2

＝＝

运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.

②a·b＝b·a(交换律)．

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).

注意：向量的数量积运算不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的．

kk

思考对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝或＝？

b(ba)

答案不能，向量没有除法．

三、向量a的投影

1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α

b

内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向

|b|

量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．

2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，

uuuuruuuuruuuur

B′，得到¢¢，向量¢¢称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，¢¢的夹角就是向量a所在

ABABAB

直线与平面β所成的角．

（一）

数量积的计算

1、空间向量夹角定义的三个关注点

(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．

(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．

(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．

2、空间向量数量积运算的两种方法

(1)a·b|a||b|cosab

利用定义：利用＝〈，〉并结合运算律进行计算．

(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公

式进行运算．

3、求空间向量数量积的步骤

(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．

(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．

(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．

4、在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用