空间向量与立体几何解答题(含答案).docVIP

空间向量与立体几何解答题精选（选修2--1）

1．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。

证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

.

（Ⅰ）证明：因

由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.

（Ⅱ）解：因

（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使

要使

为

所求二面角的平面角.

2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,

平面底面．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．

证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.

（Ⅰ）证明：不防设作，

则，，

由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.∴平面.

（Ⅱ）解：设为中点，则，

由

因此，是所求二面角的平面角，

解得所求二面角的大小为

3．如图，在四棱锥中，底面为矩形，

侧棱底面，，，，

为的中点.

（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，

并求出点到和的距离.

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则的坐标为、

、、、

、，

解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则

（1）

（2）因为为的中点，则，从而，

，设平面的法向量为，则

也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴

由令，

∴

依题意

∴（不合，舍去），.

∴时，二面角的大小为.

6．如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，，已知，求：

（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）二面角的平面角的正切值.

解：（I）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.

由于，

在三棱柱中有

,

设

又侧面，故.因此是异面直线的公垂线，

则，故异面直线的距离为.

（II）由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.

7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上

一点，.已知

求（Ⅰ）异面直线与的距离；

（Ⅱ）二面角的大小.

解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为

轴建立空间直角坐标系.

由已知可得

设

由，

即由，

又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线

,的距离为.

（Ⅱ）作，可设.由得

即作于，设，

则

由，

又由在上得

因故的平面角的大小为向量的夹角.

故即二面角的大小为