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第六节空间曲线的切线与空间曲面的切平面

一、空间曲线的切线与法平面

设空间的曲线C由参数方程的形式给出：，．

设，、为曲线上两点，的连线称为曲线C的割线，当时，若趋于一条直线，则此直线称为曲线C在点的切线．

如果对于的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C为光滑曲线），则曲线在点切线是存在的．因为割线的方程为

也可以写为

当时，，割线的方向向量的极限为，此即为切线的方向向量，所以切线方程为

．

过点且与切线垂直的平面称为空间的曲线C在点的法平面，法平面方程为

如果空间的曲线C由方程为

且存在，则曲线在点的切线是

法平面方程为

如果空间的曲线C表示为空间两曲面的交，由方程组

确定时，假设在有，在某邻域内满足隐函数组存在定理条件，则由方程组在点附近能确定隐函数

有，。于是空间的曲线C在

点的切线是

即

法平面方程为

类似地，如果在点有或时，我们得到的切线方程和法平面方程有相同形式。

所以，当向量

时，空间的曲线C在的切线的方向向量为

例6.32求曲线在点处的切线方程．

件，则由方程组在点附近能确定隐函数（即和的逆映射）

满足。于是，曲面可以表示为

由方程组两边分别同时对求偏导得到

故

所以，在的切平面方程为

法线方程为

例6.33求曲面在点的切平面和法线方程。

解曲面方程为，易得

切面方程为

即.

法线方程为

习题6.6

1．求曲线在点处的切线和法平面方程．

2．求曲线在点处的切线和法平面方程．

3．求曲面在点的切平面和法线方程。

4。证明曲面上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。

5．证明曲面上任意一点的切平面过一定点。

第七节极值和最值问题

一、无条件极值

与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。

定义6.3元函数在点的一个邻域内有定义。若对任何点，有

或（）

则称元函数在取得极大（或极小）值，称为函数的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。

类似一元函数，我们称使得元函数的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。

定理6.28若为元函数的极值点，且在的一阶偏导数存在，则为元函数的驻点。

证考虑一元函数，则是的极值点，Fermat马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是

和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。

判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。

定理6.29若为二元函数的驻点，且在的一个邻域中有二阶连续偏导数。令

，

则

当时，若，在取极小值；若，

在取极大值；

当时，在不取极值；

当时，在可能取极值，也可能不取极值。

例6.34求函数的极值。

解解方程组

得驻点为及直线上的点。

对点有，于是函数在

取积大值。

容易判断，满足条件的点为函数的极小值点，极小值为0；满足条件的和的点为函数的极大值点，极大值为0。

最值问题

在社会生产各个领域我们都会遇上最值问题，即如何用最小的成本获取最大利益的问题，这些问题一般都可以归结为求某一函数在某一范围内的最大值和最小值的问题。

我们称使得函数取得最大值和最小值的点为函数的最大值点和最小值点，统称为最值点；函数的最大值和最小值统称为最值。

一元函数

设是定义在闭区间上的连续函数，则在上一定有最大值和

最小值。区间的两个端点和可能成为其最值点，而如果最值点在开区间取得的话，则一定是的极值点，即是的驻点或是使导数不存在的点。假设的所有驻点是，使导数不存在的点是，那么

例6.35求抛物线上与最近的点。

解设是抛物线上的点，则与的距离是

考虑函数，由，得到唯一驻点，于是抛物线上与最近的点是

2、多元函数

类似一元函数，元函数的最值问题就是求在某个区域上的最大值和最小值，我们只需求出在内部的所有极值和边界上最值，从中比较就可以选出在上的最值。

例6.36求平面与点的最短距离。

解设是平面上的点，则与的距离是

考虑函数，由，得到唯一驻点，于是平面与点的最短距离是

三、条件极值问题和Lagrange乘子法

前面我们研究的极值和最值问题都是直接给出一个目标函数元函数，然后求其极值或最值，是无条件极值问题，但是，更多的极值和最值问题是有约束条件的，即条件极值问题。

一般来说，条件极值问题是指：求目标函数元函数

在一组约束条件下的极值。

我们可以尝试对上面方程组用消元法解出个变量，从而转化为上一节的无条件极值问题来解决，但是，消元法往往比较困难甚至是不可能的，所以，我们需要给出一种新的方法来求条件极值。下面我们介绍拉格朗日乘子法。我们以二元函数为例来说明，即：

求目标函数在一个约束条件限制下的极值问题。

假设点为函数在条件下的极值点，且满足隐函数存在