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空间直线与平面的方程以及位置关系

高天仪20101105295

数学科学学院数学与应用数学专业10级汉二班

指导教师李树霞

摘要解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。

关键词空间直线、方向向量、参数方程、方向数

1空间直线的方程

1.1直线的对称式（点向式）方程

空间给定了一点与一个非零向量,那么通过点且与向量平行的直线就被唯一确定,向量叫直线的方向向量.

任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量.

直线过点,方向向量.设为上任意一点,,,由于与(非零向量)共线,则即（1.1-1）

叫做直线的向量式参数方程，（其中t为参数）。

如果设，又设，那么（1.1-1）式得

（1.1-2）

（1.1-1）叫做直线的坐标式参数方程。

消参数t即得(1.1-3)

则(1.1-3)叫做直线的对称式方程或称直线准方程。

例1求通过空间两点，的直线方程。

解取作为直线的方向向量，设为直线上的任意点（如右图），那么所以直线的向量式参数方程为：

（1.1-4）

坐标式参数方程为（1.1-5）

对称式方程为（1.1-6）

方程（1.4-4）（1.4-5）（1.4-6）都叫做直线的两点式方程。

1.1.1直线的方向数

①取直线的方向向量为,则直线的方程为

(参数方程)

或（1.1-7）

标准方程（1.1-8）

由此可见参数的几何意义:为直线上点与点之间的距离.

②直线的几个问题

Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向.

Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z或与之成比例的一组数Ⅲ.直线的方向余弦与方向数之间的关系

为原点O与平面I的距离。此时可以得到I的另一种方程表示

，，

称为平面的法式方程，选取的称为法化因子。它的几何意义是：平面I是由所有的满足在垂直于I的直线上投影向量为的点构成的。若以给平面I的方程为

则I的法式方程可以表示成

其中法化因子，正负号的选取要使得。法式方程常用来处理和点与平面的距离有关的问题。

3.3空间平面的参数方程

（3.1.4—1）（3.1.4—2）

从图（3.1.4—2）中可以看出，平面I是由I上一点与两个不共线的与I平行的向量a,b（或者说是I上两个不共线的向量）所决定的。设I，，，a,b与I平行且。则空间中任意一点在I上，当且仅当,a,b三向量共面。从而有实数k，m，使得

或者

使用分量来表示，则可得到

（3.1.4—3）

我们称（3.1.4—3）为平面的参数方程，其中参数为k和m。从（3.1.4—3）中消去参数k，m，可以得到关于x,y,z的三元一次方程

=0

3.4空间平面的截距式方程

对于由方程

所表示的平面I。假设I过原点O，即在I上当且仅当。若，则平面I可用方程

（3.4—1）

表示，其中，，分别为I与三个坐标轴的交点坐标。则我们称（3.4—1）为平面的截距式方程。

3空间中直线与平面的位置关系

已知直线和平面的方程为

现在我们来讨论?，?，?在上的充要条件。

因为直线的方向向量与直线平行，平面的法向量与平面垂直，所以有

?

?

如果时，和又有公共点，则就整个落在上了.因此有

?在上

3.1空间直线与平面的交角

设直线和平面的交角为.当时，；当时，；其他情况下，等于与它在上的射影直线所交的锐角