紧束缚近似完整版本.pptVIP

1.在区域：令：这是一个二阶常系数微分方程，它的解为：其中A,B都是任意常数。这个区域内的本征函数是向右和向左行进的平面波的线性组合。而能量：2.在区域：其解：同样C,D都是任意常数。所以有：对整个系统而言，两个区域的波函数在x=0,x=a处应是连续的，这就需要对A、B、C、D四个系数做选择。在x=0处有：在x=a处有：只有当A,B,C,D的系数行列式为零时，四个方程才有解：求解从略。为了简化这个结果，我们取极限情形进行讨论，可以发现在Brillouin区边界处出现能隙。见Kittel8版p121Blakemore书也介绍了这个模型，p213给出了p=2的结果。b=0,U0=∞，P=β2ba/2Kronig-Penney一维方形势场模型有着重要意义，首先它是第一个可以严格求解的模型，证实了周期场中的电子可以占据的能级形成能带，能带之间存在禁带。其次，这个模型有多方面的适应性，经过适当修正可以用来讨论表面态，合金能带以及超晶格的能带问题。冯端等《凝聚态物理学》就利用Kronig-Penney模型讨论了超晶格问题。见冯端等《凝聚态物理学》5.2.4节p150和近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱相反，本节，我们假定原子实对电子的束缚作用很强，因此，当电子距某个原子实比较近时，电子的运动主要受该原子势场的影响，受其它原子势场的影响很弱。因此电子的行为同孤立原子中电子的行为更为相似。这时可将孤立原子看成零级近似，而将其他原子势场的影响看成小的微扰，由此可以给出电子的原子能级和晶体能带之间的相互联系。这种方法称为紧束缚近似(TightBindingApproximation)。定性说明微扰计算原子能级与能带的对应参考：黄昆书4.5节p1896.4紧束缚近似（TBA）一.定性说明：下图绘出了一维原子势，假定原子势很强，因此，当一个电子在晶体中运动并被一个离子束缚住的时候，在它被释放或隧穿到另一个离子之前，将会停留相当长的时间，在受束缚期间，电子轨道主要是围绕单个离子，其态函数基本上是一个原子轨道，受其它原子的影响很小。（图中表明，产生的电子能量明显低于势垒顶点。）该模型主要适合于晶体中原子间距较大时，或能带低而窄、壳层半径比晶格常数小得多的情况，这时的原子轨道只受到其它原子很微弱的作用，过渡金属中很重要的3d能带就是一例。一维晶体势原子波函数相应的Bloch波函数Omar一书对紧束缚模型的描述(见该书p210)在N个原子相距较远时，每个原子有不同的原子能级，整个体系的单电子态是N重简并的，当把它们放在一起形成晶体后，由于最紧邻原子波函数的交叠，N重简并解除，展宽成能带。每个能带都包含N个k值。由于能带从原子的能级演化而来，所以内层电子能带常用原子能级的量子数标记，如3s,3p,3d等以上就是TBA模型的主要结论。紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势作用，其它原子势作用弱，可当作微扰作用。此时晶体中电子的波函数不能用自由电子波函数表示，而是应由所有原子的电子波函数的线性组合来表示，即：式中，是晶体中第m个原子的位矢，是将该原子视为孤立原子时自由原子波函数。它应该满足如下方程：其中，是第m个原子势，是与本征态相对应的本征能量（能级）。该式完全忽略了其它原子的影响。当晶体有N个原胞，每个原胞由一个原子组成时，显然将有N个具有相同能量的束缚态波函数，所以在不考虑原子之间的相互作用时，晶体中的电子构成了一个N度简并的系统。但实际晶体中的原子并不是真正孤立的，由于其它原子势场的微扰作用，简并状态将消除，而形成由N个不同支能级构成的能带。对这样一个由N个原子组成的晶体，其晶体势场应由各原子势场相加而成，并具有和晶格相同的周期性：于是，晶体的薛定鄂方程为：将上面的结果代入求解，会得到晶体中能带的表达