新高考数学一轮复习讲与练第10讲 复数（讲）（原卷版）.doc

第2讲复数

本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，

平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.

考点一复数的有关概念

(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).

(2)分类：

项目

满足条件(a，b为实数)

复数的分类

a＋bi为实数?b＝0

a＋bi为虚数?b≠0

a＋bi为纯虚数?a＝0且b≠0

(3)复数相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).

(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

(5)模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R).

考点二复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).

考点三复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.

z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.

eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).

考点四常用结论

1.i的乘方具有周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

3.复数的模与共轭复数的关系

z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.

4.两个注意点

(1)两个虚数不能比较大小；

(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.

高频考点一复数的概念

【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是()

A.eq\f(1,z)对应的点在第一象限 B.|z||z＋1|

C.z的虚部为i D.z＋eq\o(z,\s\up6(－))0

【方法技巧】

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.

2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).

3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2，即|z|＝|eq\o(z,\s\up6(－))|＝eq\r(z·\o(z,\s\up6(－)))，若z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))＝z.

利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.

【变式训练】

1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝eq\f(3－i,1＋2i)，则|z|＝()

A.2B.eq\r(3)C.eq\r(2) D.1

高频考点二复数的几何意义

【例2】(2020·临沂质检)已知eq\f(a,1－i)＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于()

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

【方法技巧】

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b).

2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数