新高考数学一轮复习讲与练第13讲 解三角形（讲）（解析版）.doc

第03讲解三角形

本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，

平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.

考点一正余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

正弦定理

余弦定理

公式

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

b2＝c2＋a2－2cacos__B；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

常见变形

(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

(4)asinB＝bsinA，

bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

考点二三角形解的情况

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

a≤b

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

考点三三角形面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

考点四测量中的几个数据

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

5.常用结论：

三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；

(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sinAsinB?cosAcosB.

高频考点一利用正余弦定理解三角形

【例1】（四川省绵阳市2021-2022学年高三下学期期末数学试题）在SKIPIF10中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知SKIPIF10，且SKIPIF10，则SKIPIF10（???????）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】利用正弦定理SKIPIF10可得SKIPIF10，根据三角形性质和边角互化得出SKIPIF10，SKIPIF10，解方程组可得结果.

【详解】因为SKIPIF10，所以SKIPIF10，即SKIPIF10；

因为SKIPIF10，由正弦定理可得SKIPIF10①；

因为SKIPIF10，所以SKIPIF10，

所以SKIPIF10，整理得SKIPIF10②；

由①②可得SKIPIF10，解得SKIPIF10或SKIPIF10（舍）.故选：B.

【例2】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高三模拟）在SKIPIF10中，内角SKIPIF