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1.5.3定积分的概念（一）

前面我们一起解决了两个问题：1,求曲边梯形的面积2,求物体做变速运动的位移

实例1（求曲边梯形的面积）y如图aobx

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿x(2)取近似,求和:任取x?[x,x]，第i个小曲边梯形的面积用ii-1iy高为f(x)而宽为Dx的小矩形面积iy=f(x)f(x)Dx近似之。i取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为Oxxxxabi+1ii

实例2（求变速直线运动的路程）设物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的连续函数,且计算在这段时间内物体所经过的路程。V(T)ABV虽然是变速，但在很短一段间隔内，V的变化不大，可近似看作是匀速运动问题。

实例2（求变速直线运动的路程）匀速直线运动：路程=速度×时间.(1)分割(2)近似代替(3)求和(4)取极限

归纳提炼求曲边梯形的面积与计算变速直线运动的路程的共同特征：1.都通过“四部曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题.2.都归结为求同一种类型的和式问题.的极限3.解决问题的思想方法相同——在局部小范围内“以直代曲”、“以不变代变”和“逼近”的思想.我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分.由此我们可以给定积分的定义.

定义在上连续，用分点1,xxx....xn即等2,分3成n个小区间，如果函数将区间在每个小区间上任取一点作和式当叫做函数时，上述和式无限接近某个常数，这个常数（极限值）在的定积分，记作：即

定积分的定义：定积分的相关名称：?———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。

积分上限被积函数积分变量被积表达式积分下限

定积分的定义：按定积分的定义，有(1)由连续曲线y?f(x)(f(x)?0)，直线x?a、x?b及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度v?v(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为

yf(x)=x2v2Ox1S=5/3O1t

注意是一个和式的极限，是一个确定的常数的极限存在时，其极限值仅与被积函数2.当f(x)及积分区间[a,b]有关，而与区间的分法及点的取法无关。3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有

练习1.由曲线与直线及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为2-2积分下限是________中，积分上限是2.积分区间是[-2,2]03.定积分A4.在上连续，则定积分的值A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数无关

x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积。yy?f(x)Oabx

当f(x)?0时，由y?f(x)、x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，y?f(x)y上述曲边梯形面积的负值。S?-SOabxy?f(x)

曲边梯形的面积曲边梯形的面积的相反数

探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?y?f(x)yOxaba

性质1：被积函数的常数因子可以提到积分号外性质2：

三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性性质3.yyy=f(x)OabxdＣacbOx

理论迁移课本例1利用定积分定义，计算解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限

小结定积分的实质：特殊和式的极限．定积分的思想和方法：分割化整为零求近似以直（不变）代曲（变）积零为整近似代替，求和取极限取极限精确值——定积分定积分的几何意义：曲边梯形的面积或面积的相反数)(

定积分的概念（二）-----题型课

回顾：定积分的定义:几何意义:定积分等于曲边图形面积或面积的相反数性质：可提性加减分配率区间可加性

理论迁移课本例1P47利用定积分定义，计算解题步骤：⑴分割；⑵近似代替、作和；⑶取极限

练习册：P45，46，47讲练作业布置