人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用 (2).pptVIP

第四章4.3.1第2课时等比数列的性质及应用

学习目标1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质.(数学抽象)2.能够运用等比数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.(数学模型)

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基础落实·必备知识一遍过

知识点等比数列{an}的常用性质1.若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则.?2.an=am·(q为公比,m,n∈N*).?3.在等比数列{an}中,公比为q,每隔k项取出一项,取出的项按原来顺序组成新数列,该数列仍然是等比数列,公比为.?aman=apaqqn-mqk+1

微点拨等比数列{an}的增减性(1)当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递增数列.(2)当q1,a10或0q1,a10时,{an}是递减数列.(3)当q=1时,{an}是常数列;当q0时,{an}是摆动数列.

微思考1.若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件吗?若不是,则是什么条件?提示不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.

2.将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?若是,则其公比是什么?提示由于=q2,n≥2且n∈N*,所以{anan+1}是以q2为公比的等比数列.

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探究点一等比数列性质的应用问题1类比等差数列的常用性质,如(1)an=am+(n-m)d,(2)a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…,(3)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an,(4)若m+n=2t(m,n,t∈N*),则am+an=2at,能否推出等比数列的相应性质?问题2对于等比数列的性质,你认为可以从式子中的哪些特征去发现性质、联系方法?

【例1】已知{an}为等比数列.(1)若an0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值;(2)若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5.∵an0,∴a3+a50,∴a3+a5=5.解(1)根据等比数列的性质,得a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴a1a2…a9a10=(a5a6)5=95,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a9a10)=log395=10.

规律方法应用等比数列性质的解题策略(1)等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形,熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题.(2)应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系,充分利用下列两点进行求解:①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则aman=apaq;②若m+n=2t(m,n,t∈N*),则aman=.

探究点二等比数列的综合问题【例2】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数和第四个数的和是16,中间两个数的和是12.求这四个数.分析用两个未知数表示这四个数,结合已知条件列方程组.问题3对于多个数成等比数列的情况,如何能比较好地优化运算?

探究点三等比数列的实际应用问题4生活中有哪些实际应用等比数列的问题?此类问题中,可以从哪些关键信息中提取、发现等比数列的取值规律?【例3】月球距离地球约38万千米,有人说:在理想状态下,若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次,其厚度就可以超过地球到月球的距离,那么至少对折的次数n是()(lg2≈0.3,lg3.8≈0.6)A.40 B.41 C.42 D.43C

解析设对折n次时,纸的厚度为an毫米,每次对折厚度变为原来的2倍,由题意知{an}是以a1=0.1×2为首项,公比为2的等比数列,所以an=0.1×2×2n-1=0.1×2n,令an=0.1×2n≥38×104×106,即2n≥3.8×1012,所以lg2n≥lg3.8+12,即0.3n≥0.6+12,解得n≥42,所以至少对折42次,故选C.

规律方法等比数列实际应用的求解策略(1)一般地,产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题,往往与等比数列有关,可建立等比数列模型进行求解.(2)建立等比