黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷.docxVIP

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黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数，其中为虚数单位，则在复平面内对应的点的坐标为（）

A． B．

C． D．

2．已知向量，则（????）

A． B．8 C． D．2

3．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（????）

A． B．2 C． D．

4．已知平面向量，则向量在上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

5．已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（????）

A． B． C． D．

6．在中，若，且，则的面积为（????）

A． B． C． D．

7．在中，若，则的形状是（????）

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

8．在锐角中，、、分别是的内角、、所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，则下列说法正确的有（????）

A．虚部为1 B． C． D．

10．在中，角的对边分别为，已知，则下列说法正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．周长的最大值为 D．面积的最大值

11．已知点为所在平面内一点，满足，（其中）（????）

A．当时，直线过边的中点

B．若时，与的面积之比为

C．若，且，则

D．若，且，则满足

三、填空题

12．在中，，则．

13．如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为．

14．在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为.

四、解答题

15．已知，存在满足.

(1)求向量、、的坐标；

(2)求与夹角的余弦值.

16．如图，在正方体中，为上不同于的任一点，，求证：

??

(1)平面；

(2)．

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．若，，∠BAC的平分线交BC于D．

(1)求∠BAC；

(2)若，求AD．

18．如图，在正方体中，分别是棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求三棱锥的体积．

19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，△ABC的面积．

(1)若，求的值；

(2)求的取值范围．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

D

C

D

C

C

BCD

ACD

题号

11

答案

AD

1．B

【分析】根据复数乘除法和共轭复数概念计算即可.

【详解】，在复平面内对应的点的坐标为.

故选：B.

2．C

【分析】根据题意由，即可得解.

【详解】由，

可得，

所以.

故选：C

3．C

【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高.

【详解】在直角梯形中，，，

则，

直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形，

则有，

所以该平面图形的高为.

故选：C.

4．D

【分析】利用投影向量的定义计算可得答案.

【详解】因为向量，

所以向量在上的投影向量为.

故选：D.

5．C

【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得.

【详解】由题意设底面半径为，母线为，

圆柱的侧面积为.

故选：C.

6．D

【分析】根据题中条件结合余弦定理先求得，进而利用面积公式求解.

【详解】由，

故，

故选：D

7．C

【分析】利用平面向量的数量积运算律计算即可.

【详解】由题意可知，

所以，即的形状是直角三角形.

故选：C

8．C

【分析】连接并延长交于点，由重心的性质可得出，利用平面向量的线性运算可得出，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出，推导出，再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.

【详解】连接并延长交于点，则为的中点，

因为，则，由重心的性质可得，则，

因为，

所以，，所以，，

所以，，

所以，，则为锐角，

由余弦定理可得，

所以，，

因为为锐角三角形，则，即，即，

所以，，

构造函数，其中，

任取、且，则

.

当时，，，则，

当时，，，则，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

因为，所以，，故.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理来求解，本题中