人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 (2).pptVIP

第四章4.2.2第2课时等差数列前n项和的性质及应用

学习目标1.掌握等差数列前n项和的性质及其应用.(数学抽象)2.掌握等差数列前n项和的最值的求法.(数学运算)3.掌握等差数列各项绝对值的和的求法.(数学运算)

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基础落实·必备知识一遍过

知识点1求等差数列前n项和的最值数列角度等差数列中:若a10,d0,则数列的前面若干项为负数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最小值.此时,求Sn取最小值的项数即转化为求an≤0,且an+10;若a10,d0,则数列的前面若干项为正数(或0),所以将这些项相加即得Sn的最大值,此时,求Sn取最大值的项数即转化为求an≥0,且an+10函数角度等差数列的公差d≠0时,Sn=na1+,从函数的角度,可以写成Sn=,是关于n的二次函数.只是此时要注意n∈N*.此时求Sn的最值,即求二次函数的最值

微思考已知等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0),试探索Sn取最大值或最小值时n对应的值.

知识点2等差数列前n项和的性质

微思考1.设等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,如何理解数列也是等差数列?2.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,S2=4,S4=9,则S6是否等于14?请说明理由.提示S6不等于14.∵S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,∴4+(S6-9)=2×5,解得S6=15.

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问题1最值问题是函数研究的重点问题.而等差数列是一类特殊的函数,如何研究等差数列的前n项和的最值问题?问题2对于等差数列的前n项和能否从函数的角度来思考其最值?问题3等差数列前n项和的最值能否转化为等差数列的项的问题?

探究点一等差数列前n项和的最值问题【例1】在等差数列{an}中,Sn为前n项和,且a1=25,S17=S9,请问数列{an}前多少项和最大?

(方法3)∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0.∴a10+a17=a11+a16=…=a13+a14=0.∵a1=250,∴当n≤13时,an0;当n≥14时,an0.∴S13最大.(方法4)同方法1,求出d=-2.故当n=13时,Sn有最大值.

规律方法一般地,在等差数列{an}中:若a10,d0,则其前n项和Sn有最大值;若a10,d0,则其前n项和Sn有最小值.具体求解方法如下:(1)利用(d≠0),用配方法求得最值以及取最值时n的值.(2)利用等差数列的性质,找出数列{an}中正、负项的分界项.当a10,d0时,前n项和Sn有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a10,d0时,前n项和Sn有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.

探究点二求数列{|an|}的前n项和问题问题4数列是一类特殊的函数,也能与函数一样加上运算符号来思考.若等差数列的通项加上绝对值,该如何计算其前n项和呢?【例2】已知数列{an}的前n项和,求数列{|an|}的前n项和Tn.分析先求出通项an,再确定数列中项的正负,去掉绝对值号,利用Sn求解.

规律方法已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.

探究点三等差数列前n项和的性质及其应用问题5若从一个等差数列中取出若干个连续n项,如:第1个n项a1,a2,…,an;第2个n项an+1,an+2,…,a2n;第3个n项a2n+1,a2n+2,…,a3n;……此若干个连续n项的和可能有什么性质?问题6在等差数列的前n项和公式中,是否蕴含了数列中某些特别的概念,据此又能推导出什么性质?

【例3】(1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列{an}的前3m项的和S3m为.210解析(方法1)在等差数列中,∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列.∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210.

规律方法利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数