2023-2024学年四川省成都七中高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）.doc

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2023-2024学年四川省成都七中高三（上）第一次诊断数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）

A．3 B．4 C．8 D．16

2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）

A．﹣2 B． C． D．2

3．（5分）与有相同定义域的函数是（）

A． B． C．y＝lg（10x） D．y＝elnx

4．（5分）若向量、满足：，，，则＝（）

A．2 B． C．10 D．

5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）

A．n＝6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8

6．（5分）已知a，b，c∈R，则“a≤b”的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A． B．ac≤bc C．ac2≤bc2 D．a2≤b2

7．（5分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为O，斜率为1的直线l过点（2p，0），且与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的面积为，则该抛物线的准线方程为（）

A．x＝﹣1 B． C．x＝﹣2 D．

8．（5分）设m、n是两条不相同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）

A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n

B．若n∥α，n⊥β，则α⊥β

C．若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β．

D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β

9．（5分）某人根据自己爱好，希望从{W，X，Y，Z}中选2个不同字母，从{0，2，6，8}中选3个不同数字拟编车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）

A．198个 B．180个 C．216个 D．234个

10．（5分）已知，，则cos（α+β）的值为（）

A． B． C． D．

11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F的直线与圆x2+y2＝a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若|PQ|＝2|QF|，则双曲线C的离心率为（）

A． B． C． D．2

12．（5分）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于曲线的法线有下列4种说法：

①存在一类曲线，其法线恒过定点；

②若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则其最小值为；

③存在唯一一条直线既是曲线y＝ex的法线，也是曲线y＝lnx的法线；

④曲线y＝sinx的任意法线与该曲线的公共点个数为1．

其中说法正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）若x，y满足约束条件则z＝x﹣2y的最大值为．

14．（5分）（x﹣2y）（2x+y）5的展开式中，x2y4的系数为．

15．（5分）半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为．

16．（5分）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA+csinC＝4asinCsinB，则FH＝．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（12分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝2b1＝2，a2＝2b2，a3＝2b3+2．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）令，n∈N*，记数列{cn}的前n项积为Tn，证明：．

18．（12分）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．如图是该校高三学生“运动与健康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级：原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．

（1）若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；

（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．

19．（12分）如图，平面四边形ABCD