2023-2024学年四川省成都七中高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）.doc

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2023-2024学年四川省成都七中高三（上）第一次诊断数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合A的子集个数为（）

A．3 B．4 C．8 D．16

2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）

A．﹣2 B． C． D．2

3．（5分）一组数据共含大小不一的7个数值，其平均数和方差分别为和，若去掉一个最大值和一个最小值，则剩下的数据其平均数和方差分别为和，则一定有（）

A． B．

C． D．

4．（5分）与有相同定义域的函数是（）

A． B． C．y＝lg（10x） D．y＝elnx

5．（5分）若向量、满足：，，，则＝（）

A．2 B． C．10 D．

6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）

A．n＝6 B．n＜6 C．n≤6 D．n≤8

7．（5分）已知a，b，c∈R，则“a≤b”的必要不充分条件可以是下列的选项（）

A． B．ac≤bc C．ac2≤bc2 D．a2≤b2

8．（5分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点为O，斜率为1的直线l过点（2p，0），且与抛物线C交于A，B两点，若△OAB的面积为，则该抛物线的准线方程为（）

A．x＝﹣1 B． C．x＝﹣2 D．

9．（5分）设m、n是两条不相同的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）

A．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n

B．若n∥α，n⊥β，则α⊥β

C．若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β．

D．若m⊥n，m⊥β，则n∥β

10．（5分）已知，，则cos（α+β）的值为（）

A． B． C． D．

11．（5分）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线y＝x4的法线的纵截距存在，则其最小值为（）

A． B．1 C． D．

12．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F的直线与圆x2+y2＝a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若|PQ|＝2|QF|，则双曲线C的离心率为（）

A． B． C． D．2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）函数f（x）＝（2x+1）（x﹣a）是偶函数，则a＝．

14．（5分）若x，y满足约束条件则z＝x﹣2y的最大值为．

15．（5分）半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为．

16．（5分）如图，在△ABC所在平面内，分别以AB，BC为边向外作正方形ABEF和正方形BCHG．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S．已知，且asinA+csinC＝4asinCsinB，则FH＝．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）某企业生产的产品按质量分为一等品和二等品，该企业计划对现有生产设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取200件产品作为样本，产品的质量情况统计如表：

一等品

二等品

合计

设备改造前

120

80

200

设备改造后

150

50

200

合计

270

130

400

（1）判断是否有99%的把握，认为该企业生产的这种产品的质量与设备改造有关；

（2）按照分层抽样的方法，从设备改造前的产品中取得了5件产品，其中有3件一等品和2件二等品．现从这5件产品中任选2件，求选出的这2件全是一等品的概率．

附：，其中n＝a+b+c+d．

P（K2≥k0）

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

18．（12分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝2b1＝2，a2＝2b2，a3＝2b3+2．

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（2）令，n∈N*，记数列{cn}的前n项积为Tn，证明：．

19．（12分）如图，平面四边形ABCD中，BC∥AD，∠ADC＝90°，∠ABC＝120°，E是AD上的一点，AB＝BC＝2DE＝4a（a＞0），F是EC的中点，以EC为折痕把△EDC折起，使点D到达点P的位置，且PC⊥BF．

（1）证明：平面PEC⊥平面ABCE；

（2）求点C到平面PAB的距离．

20．（12分）设函数，其中．

（1）若λ＝1，讨论F（x）在上的单调性；

（2）若，证明：当时，不等式（x﹣a