高中数学：第七章《复数》小结 教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

春季

课题

第七章《复数》小结——复数及其运算的几何意义再探

教科书

书名：普通高中教材

出版社：人民教育出版社

教学目标

在充分理解复数与有序实数对一一对应的基础上，类比实数的几何意义，思考复数的几何意义.通过有序实数对与平面内的点一一对应，建立复平面的概念，理解复数与复平面内的点一一对应，进而理解构建复数的第一种几何形态.通过平面向量的坐标表示及相等向量坐标相同，平面内相等向量亦和一有序实数对一一对应，理解复数与向量一一对应，进而构建复数的第二种几何形态.通过提取复数的模与复数的辐角主值，形成有序数对，该有序数对也和复数一一对应，因此复数的三角形式亦可理解为复数的又一种几何形态.同时，本节教学目标还包括：通过几何意义理解复数的模及共轭复数的概念，在复数运算中能结合复数的几何意义，融会使用坐标方法及向量方法，促进复数概念几何意义上的理解，提升数形结合、直观想象、逻辑推理的素养.

教学内容

教学重点：

复数的两种几何意义，复数的模及共轭复数的几何意义，复数四则运算的几何意义，复数几何意义的初步运用.

教学难点：

复数几何意义的产生及运用.

教学过程

（一）教学流程设计

（二）教学过程设计

环节一：温故导入，启发思考

教师：漫威蜘蛛侠3《英雄无归》影片中，为我们描述了平行宇宙的存在性.同样的角色，在不同的世界中确有不一样的经历与成长.例如，影片中有一个情节是蜘蛛侠2代在自己的世界里与敌人搏斗痛失爱人，而在3代的世界里，2代通过调整技术拯救了3代的爱人，也弥补了自己的遗憾.

教师提问：同学们，这部影片中所刻画的“平行宇宙”给了我们怎样的启发呢？

设计意图：以影片情节启发学生思考同样的事物是否可以以不同的形态存在，必要时通过转化形态以帮助解决现实问题，为复数的两种形式（代数形式、几何形式）的转化和应用进行铺垫.

思考：（1）实数存在几何形式吗？从代数形式到几何形式如何转化？

（2）类比实数，复数存在几何形式吗？从代数形式到几何形式如何转化？

师生活动：学生类比初中实数轴定义，由复数的代数形式进行几何表达的扩展思考，教师作引导.

设计意图：通过回顾及类比，让学生再次识别复数“有序数对”的本质.类比实数的几何表示，学生可以联想到复数空间是从一维数轴到二维平面的扩建.

答案：（1）实数存在几何形式；每一个实数都和实数轴上的一个点一一对应，因此可由实数轴上对应的点来表达，这个点的位置记为“”；

（2）类比实数，猜想复数亦存在几何形式；由于复数的代数形式是，确定一个复数需要同时确定它的实部和虚部，即有序实数对.因此类比一维数轴上的点，考虑可以用平面直角坐标系内的点来刻画复数.同时，有序实数对除了点，还可以有平面向量相对应.

环节二：推陈出新，构建新知

问题1：尝试在平面直角坐标系内刻画复数：、、、、、、、

思考：每一个复数都可以在平面直角坐标系内刻画吗？存在平面直角坐标系以外的复数吗？复数在平面直角坐标系内对应的点唯一吗？平面直角坐标系内的点表示的复数唯一吗？

师生活动：学生动手尝试，在体验数的几何表示过程中感受数与点的一一对应关系，在思考中掌握一一对应关系的理解与判断.

设计意图：在第一册函数概念教学中，学生对“一一对应”关系有了一定的理解和判断，在构建不同形态事物的“一一对应”关系中，学生的初判可能是模糊的、直观性的、片面的，我们可以让学生自主尝试数与形的转化过程，在数实例中感受“一一对应”关系的意义.思考题的设置是帮助学生建立“一一对应”关系的明确认知，将“一一对应”关系的判断依据细化在逐级思考题中，深化学生对“一一对应”关系的认知与理解.

答案：在平面直角坐标内作图如下：

图1

思考：每一个复数都可以在平面直角坐标系内刻画；不存在平面直角坐标系以外的复数；复数在平面直角坐标系内对应的点唯一；平面直角坐标系内的点表示的复数唯一.

问题1拓展：（1）实数与实数轴上的点一一对应，其坐标形式如何？

（2）对于一般形式的复数，在平面直角坐标系下也有点的一一对应关系吗？其坐标形式如何？尝试用图形表示出来.

师生活动：教师引导学生类比思考，学生回答问题，教师作点评.

设计意图：通过类比，理解在本质上，复数是实数从一元数到二元数的衍生；在代数结构上，复数是从“”到“”的衍生；在坐标表示上，复数是从“”到“”的衍生；在几何空间上，复数集是从实轴到实虚轴新建的复平面的衍生.

答案：（1）实数的坐标表示为“”；

（2）有，关于复数，在平面直角坐标系内，取轴上射影为、轴上射影的点，分别对应复数的实部与虚部，这样就找到了复数在平面直角坐标系下所对应的点，亦可作为复数的坐标表示.

图2实数与复数三种形态下的类比

问题2：复数与平面直角坐标系下的点一一对应，这