高中数学：8-6-2直线与平面垂直（第一课时）教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一年级

学期

春季

课题

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）

教科书

书名：人教A版（2019）数学必修第二册

出版社：人民教育出版社

教学目标

1.理解直线与平面垂直的定义及其相关概念，以及判定定理。

2.掌握线线垂直与线面垂直之间的相互转化关系，从而体会降维化归的思想。

3.会用自然语言、图形语言、符号语言来表示定义和判定定理。

4.能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题。

教学内容

教学重点：

1.直线与平面垂直的定义。

2.直线与平面垂直的判定定理。

教学难点：

1.“任意”的含义——进行线面垂直判定与部分性质的关键。

2.无限到有限的转化——推导线面垂直判定方法的关键。

3.两条直线相交垂直——突破直线与平面垂直判定定理难点的关键。

教学设想

人教A版教材基于重视几何直观，适当引入公理化思想体系以及合情推理与逻辑推理并重的考量，从现实情境中的旗杆与地面垂直引入线面垂直的概念，给出了折纸的实验，然后直接给出线面垂直的判定定理，没有进行严格证明（设置了思考题让学生从向量的角度探索证明思路，但是学生还未学习空间向量，无法严谨证明）。这种“直观感知、操作确认、归纳总结”的方式虽然能够减轻学生的课业负担，有助于培养学生的直观想象能力，但是会让学生将信将疑，不利于培养的学生逻辑推理能力。其实，历史上数学家曾先后给出过多种线面垂直判定定理的证明。这些证明可以让学生体会数学严谨求实、不断创新的精神，对于培养学生的逻辑推理能力有一定的价值。因此，我在本节课中引入了数学史，带领同学们领略数学家的风采，在数学史中体会数学文化的魅力，鼓励他们给出线面垂直判定定理的严谨证明。

教学过程

知识回顾——直线与平面的位置关系

问题1：直线和平面的位置关系有哪些？（引出今天的课题）

二、情景引入——生活中的线面垂直实例

问题2：直线与平面垂直的定义是什么？能否用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？（引出定义）

三、情景探究——以旗杆和地面为例探究

问题3：在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，你能发现旗杆所在直线与它的影子所在直线的位置关系吗？（引出线面垂直的定义）

问题4：那对于地面上不过点B的任意一条直线B1C1与旗杆AB所在的直线的位置关系如何？

四、探究新知

（一）线面垂直的定义

1.直线与平面垂直的定义（三种语言的表达：文字语言、符号语言、图形语言）

2.关于定义的数学史：历史上的线面垂直概念的变化

3.定义剖析：对“任意”的含义的理解（“任意”与“所有”，“任意”与“无数”）

4.垂线与垂面的唯一性

问题5：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？（过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，体现类比的数学思想）

推广：在空间中，过一点有无数条直线与已知直线垂直，这无数条直线共面，且该平面与已知直线垂直。

5.线面垂直定义的升华

问题6：直线与平面垂直的定义的作用是什么？（使得线线垂直与线面垂直相互转化）

问题7：如何判定直线与平面垂直？（由于用定义判断存在困难，从而引出线面垂直判定定理）

（二）线面垂直判定定理

1.折纸实验

问题8：如图，一块三角形纸片??????,过△??????的顶点??翻折纸片.得到折痕????，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(????、????与桌面接触)

(1)折痕????与桌面垂直吗？

(2)如何翻折才能使折痕????与桌面垂直？

2.线面垂直判定定理（三种语言的表达：文字语言、符号语言、图形语言）

3.线面垂直判定定理体现的数学思想（化无限问题为有限问题，以简驭繁；将空间问题化为平面问题，降维处理，化归与转化的思想）

4.线面垂直判定定理的条件进行探究

问题9：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”。可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”吗？

得到结论：线不在多，相交就行

解释原因（对定理证明的思考）：平面向量基本定理

5.线面垂直判定定理的严谨证明（引入数学史，鼓励学生课后思考）

6.中国古代数学中的线面垂直模型——堑堵、阳马、鳖臑（引入中国的数学文化）

五、学以致用

例1.求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.（先让学生用图形语言、符号语言翻译，再引导学生用两种证明方法——线面垂直判定定理和定义法）

六、课堂总结

七、课后作业

1.人教A版必修第二册第152页练习第2、4题.

2.请证明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

3.选做：请严谨证明线面垂直判定定理.

板书设计

8.6.2直线与平面垂直（第一课时）