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可分离变量微分方程机动目录上页下页返回结束第二节第七章一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、可化为齐次方程的微分方程一、可分离变量的微分方程机动目录上页下页返回结束转化解分离变量方程可分离变量方程分离变量方程的解法:设y＝?(x)是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝?(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝?(y)也是①的解.机动目录上页下页返回结束例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)机动目录上页下页返回结束例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为机动目录上页下页返回结束例3.子的含量M成正比,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t的变化规律.解:根据题意,有(初始条件)对方程分离变量,即利用初始条件,得故所求铀的变化规律为然后积分:已知t=0时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动目录上页下页返回结束例4.成正比,求解:根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量,然后积分:得利用初始条件,得代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度降落伞下落速度与时间的函数关系.t足够大时机动目录上页下页返回结束二、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:机动目录上页下页返回结束例5.解微分方程解:代入原方程得分离变量两边积分得故原方程的通解为(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)机动目录上页下页返回结束例6.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.机动目录上页下页返回结束可得?OMA=?OAM=?例7.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线绕x轴旋转而成.过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:入射角=反射角取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM要求点光源的光线反射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.而AO于是得微分方程:机动目录上页下页返回结束利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)机动目录上页下页返回结束(h,k为待三、可化为齐次方程的方程作变换原方程化为令,解出h,k(齐次方程)定常数),机动目录上页下页返回结束求出其解后,即得原方程的解.原方程可化为令(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程机动目录上页下页返回结束例8.求解解:令得再令Y＝Xu,得令积分得代回原变量,得原方程的通解:机动目录上页下页返回结束****